【知識提綱】
一、 數列與不等式問題一般表現在：
1、 求有關數列的最值問題；
其常用方法：
（1）用數列單調性定義分析，即作差法：，或作商法：
（2）用函式最值的求法，如二次函式最值的探求方法、用導數求函式最值的方法等。
2、求有關數列的引數取值範圍問題
需要用不等式性質與基礎知識進行處理。
2、 相關數列的不等式證明問題。
關鍵是適度的「放大」或「縮小」，其處理技巧：
（1） 作差法；
（2） 利用重要不等式法如均值不等式、柯西不等式、琴生不等式等；
（3） 放縮法：
（4） 數學歸納法
（5） 構建函式轉化為求函式的最值問題
二、 應用
型別一、求有關數列的最值問題
例1、 定義：，設函式，求函式的最小值。
例2、已知數列的各項均為正數，且滿足：
證明：例3、對任意的正整數，設是方程的實數根，求證：。
例4、已知數列滿足，，，其中是給定的實數，是正整數，試求的值，使得的值最小．
例5、已知首項為的等比數列不是遞減數列, 其前n項和為, 且s3 + a3, s5 + a5, s4 + a4成等差數列.
(ⅰ) 求數列的通項公式;
(ⅱ) 設, 求數列的最大項的值與最小項的值.
型別二、常見數列求和不等式的證明
例6、設數列的前項和為.已知, ,.
(ⅰ) 求的值;
(ⅱ) 求數列的通項公式;
(ⅲ) 證明:對一切正整數,有.
例7、設且，求證：
例9、已知數列和中，，且，為引數）（
證明：同步訓練（4）數列與不等式
1、在正項等比數列中，a5＝，a6＋a7＝3. 則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數n的值為________．
2、設△anbncn的三邊長分別為an，bn，cn，△anbncn的面積為sn，n＝1，2，3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，則( )
a．為遞減數列
b．為遞增數列
c．為遞增數列，為遞減數列
d．為遞減數列，為遞增數列
3、已知，則數列的前100項和與的大小關係為________．
4、已知數列的前n項和為sn，且a2an＝s2＋sn對一切正整數n都成立．
(1)求a1，a2的值；
(2)設a1＞0，數列的前n項和為tn，當n為何值時，tn最大？並求出tn的最大值．
5、為正實數，數列由確定
（1），證明：
（2）是滿足的正實數，證明：
6、已知且
試證明：數列對任意的都滿足或滿足。
7、已知數列滿足
（1） 求數列的通項公式；
（2） 證明：（
8、數列滿足，其中，首項為。
（1）若數列是乙個無窮的常數數列，試求的值；
（2）若求滿足不等式的自然數的集合；
（3）若存在，使數列滿足：對任意正整數，均有，求的取值範圍。
解：(1)取n＝1，得a2a1＝s2＋s1＝2a1＋a2，①
取n＝2，得a＝2a1＋2a2， ②
由②－①，得a2(a2－a1)＝a2. ③
(i)若a2＝0，由①知a1＝0.
(ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④
由①、④解得，a1＝＋1，a2＝2＋；或a1＝1－，a2＝2－.
綜上可得，a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－.
(2)當a1>0時，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2.
當n≥2時，有(2＋)an＝s2＋sn，(2＋)an－1＝s2＋sn－1，
所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)，
所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.
令bn＝lg，則bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg2＝lg.
所以數列是單調遞減的等差數列公差為－lg2，從而
b1>b2>…>b7＝lg>lg1＝0，
當n≥8時，bn≤b8＝lg故n＝7時，tn取得最大值，且tn的最大值為
t7＝＝＝7－lg2.
例2、已知數列滿足，，，其中是給定的實數，是正整數，試求的值，使得的值最小．
【解】令，由題設，
有，且………5分於是，
即．10分
又，，則．
∴當的值最小時，應有，，且．
即15分
由（※）式，得由於，且，解得，
∴當時，的值最小20分
【答案】
【答案】.(1) 解: ,.
當時, 又, (2)解當時由① — ②,得數列是以首項為,公差為1的等差數列.當時,上式顯然成立. (3)證明:
由(2)知, ①當時, ,原不等式成立. ②當時, ,原不等式亦成立. ③當時, 當時,,原不等式亦成立.
綜上,對一切正整數,有.
數列與不等式小結
一 數列總結 基本概念 1.數列及通項公式 按一定次序排列的一列數叫做數列，數列中的每乙個數都叫這個數列的項，各項依次叫做這個數列的第1項 或首項 第2項，第n項，其中an是數列的第n項，有時我們把上面的數列簡記作 an 如果數列 an 的第n項an與n之間的關係可以用乙個公式來表示，那麼這個公式就...
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第九章不等式與不等式組 9.1.1不等式及其解集 七 班姓名座號 第小組 一 自學範圍 p113 115 二 自學目標 1 了解不等式的概念，能用不等式表示簡單的不等關係。2 知道什麼是不等式的解，什麼是解不等式，並能判斷乙個數是否是乙個不等式的解。3 理解不等式的解集，能用數軸正確表示不等式的解集...
不等式與不等式組整章導學案
9.1.1不等式及其解集 七年級班姓名學號評價 學習目標 1 了解不等式的概念，能用不等式表示簡單的不等關係。2 知道什麼是不等式的解，什麼是解不等式，並能判斷乙個數是否是乙個不等式的解。3 理解不等式的解集，能用數軸正確表示不等式的解集，對於乙個較簡單的不等式能直接說出它的解集。4 了解一元一次不...