第六章不等式
第1課時一元二次不等式及其解法(對應學生用書(文)、(理)84～86頁)
1. (必修5p77練習2(2)改編)不等式3x2－x－4≤0的解集是
答案：解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.
2. (必修5p75例1(1)改編)不等式2x2－x－1>0的解集是________．
答案：∪(1，＋∞)
解析：由2x2－x－1>0，∴ (2x＋1)(x－1)>0，∴ x>1或x<－.
3. (必修5p79習題1(3)改編)不等式8x－1≤16x2的解集是________．
答案：r
解析：原不等式轉化為16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2 ≥0，則x∈r，故不等式的解集為r.
4. (必修5p80習題9改編)已知不等式x2－2x＋k2－3>0對一切實數x恆成立，則實數k的取值範圍是________．
答案：k>2或k<－2
解析：由δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.
5. (必修5p80習題8(2)改編)關於x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是，則a＋b
答案：－3
解析：由題意知，－1，4為方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的兩根，∴ a＋1＝－3，ab＝－4.∴ a＝－4，b＝1.∴ a＋b＝－3.
1. 一元二次不等式的解法
在二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若將等號「＝」改為不等號「＞」或「＜」，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)．因此，可以通過y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象與x軸的交點求得一元二次不等式的解，具體如下表：
2. 用乙個流程圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的演算法過程
[備課札記]
題型1 一元二次不等式的解法
例1 解關於x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈r)．
解：原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0.
① 當a＝0時，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.
② 當a＞0時，原不等式化為(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.
③ 當a＜0時，原不等式化為(x＋1)≤0.
當＞－1，即a＜－2時，解得－1≤x≤；
當＝－1，即a＝－2時，解得x＝－1滿足題意；
當＜－1，即a＞－2，解得≤x≤－1.
綜上所述，當a＝0時，不等式的解集為；當a＞0時，不等式的解集為；當－2＜a＜0時，不等式的解集為；當a＝－2時，不等式的解集為；當a＜－2時，不等式的解集為.
已知函式f(x)＝ax2＋bx－a＋2.
(1) 若關於x的不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，求實數a、b的值；
(2) 若b＝2，a>0，解關於x的不等式f(x)>0.
解：(1) ∵ 不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，
∴ －1，3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的兩根，
∴∴(2) 當b＝2時，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，
∵ a>0，∴ (x＋1)(ax－a＋2)>0 (x＋1) >0，
① 若－1＝，即a＝1，解集為；
② 若－1>，即0解集為；
③ 若－1<，即a>1，解集為.
題型2 由二次不等式的解求引數的值或範圍
例2 已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.
(1) 若對於所有的實數x不等式恆成立，求m的取值範圍；
(2) 設不等式對於滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值範圍．
解：(1) 對所有實數x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恆成立，即函式f(x)＝mx2－2x＋m－2的圖象全部在x軸下方，當m＝0時，－2x－2<0，顯然對任意x不能恆成立；
當m≠0時，由二次函式的圖象可知有解得m<1－.
綜上可知m的取值範圍是(－∞，1－)．
(2) 設g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是乙個以m為自變數的一次函式，由x2＋1>0知g(m)在[－2，2]上為增函式，則由題意只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0已知函式f(x)＝x2＋ax＋3.
(1) 當x∈r時，f(x)≥a恆成立，求實數a的取值範圍；
(2) 當x∈[－2，2]時，f(x)≥a恆成立，求實數a的取值範圍．
解：(1) 當x∈r時，f(x)≥a恆成立，即x2＋ax＋3－a≥0對任意實數x恆成立，則δ＝a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2，∴ a的範圍是．
(2) 當x∈[－2，2]時，f(x)≥a恆成立，即x2＋ax＋3－a≥0對任意x∈[－2，2]恆成立，
∴ δ≤0，或或解得－7≤a≤2.
∴ a的範圍為．
題型3 三個二次之間的關係
例3 若關於x的不等式(2x－1)2解：因為原不等式等價於(－k＋4)x2－4x＋1<0，從而方程(－k＋4)x2－4x＋1＝0的判別式δ＝4k>0，且有4－k>0，故0且<<，則1，2一定為所求的整數解，所以2<≤3，得k的取值範圍為.
關於x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3個整數，求a的取值範圍．
解：原不等式可能為(x－1)(x－a)＜0，當a＞1時得1＜x＜a，此時解集中的整數為2，3，4，則4＜a≤5，當a＜1時得a＜x＜1，則－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．
題型4 一元二次不等式的應用
例4 乙個服裝廠生產風衣，月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關係為p＝160－2x，生產x件的成本r＝500＋30x(元)．
(1) 該廠月產量多大時，月利潤不少於1 300元？
(2) 當月產量為多少時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
解：(1) 由題意知，月利潤y＝px－r，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500.
由月利潤不少於1 300元，得－2x2＋130x－500≥1 300.即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.故該廠月產量在20～45件時，月利潤不少於1 300元．
(2) 由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－2＋，
由題意知，x為正整數．故當x＝32或33時，y最大為1 612.
所以當月產量為32或33件時，可獲最大利潤1 612元．
某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品x(百台)，總成本為g(x)(萬元)，其中固定成本為2萬元，並且每生產1百台的生產成本為1萬元(總成本＝固定成本＋生產成本)；銷售收入r(x)(萬元)滿足：r(x)＝假定該產品產銷平衡，那麼根據上述統計規律求下列問題．
(1) 要使工廠有贏利，產量x應控制在什麼範圍內？
(2) 工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？
解：依題意，g(x)＝x＋2，設利潤函式為f(x)，則
f(x)＝
(1) 要使工廠有贏利，即解不等式f(x)>0，
當0≤x≤5時，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0，
即x2－8x＋7<0，得1∴1當x>5時，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，
∴5綜上所述，要使工廠贏利，x應滿足1(2)0≤x≤5時，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
故當x＝4時，f(x)有最大值3.6；
而當x>5時，f(x)<8.2－5＝3.2.
所以，當工廠生產400臺產品時，贏利最多．
1. (2014·江蘇)已知函式f(x)＝x2＋mx－1，若對於任意的x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數m的取值範圍是________．
答案：解析：由題意得
解得－＜m＜0.
2. (2014·北京東城模擬)定義在r上的運算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－y)*(x＋y)＜1對一切實數x恆成立，則實數y的取值範圍是________．
考點過關測試第4章不等式 文
考點過關測試 一 選擇題 本大題共6小題，每小題6分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案填在選擇題答題框裡 1.下列命題 a b 0,d c 0，則 a bac2 bc2 a b a ban bn nn 其中命題為真的是 a b c d 解析 b.當c 0時不...
第2講不等式
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第九章不等式與不等式組
數學學科導學案課題 xx 編者 審核 班級 組號姓名 學習目標 說明 目標少而精，與當堂內容和教材聯絡緊密，不能太多，不擬與本堂無關的目標，不擬學生達不到的目標。目標定位適中，刪除偏 繁 難的訓練 1 2 重點難點 1 2 一 自主學習 說明 在學生獨立完成前，應先看學習目標，然後按導學案要求，該看...