本科畢業**
( 2013屆)
題目: 大數定律及其應用
學院: 數學與資訊科學學院
專業統計學
班級09統計
姓名學號
指導老師
完成日期: 2023年4月1日
目錄§1、引言 2
§2、大數定律的發展歷程 3
§3、常見的大數定律及中心極限定理 4
§3.1常見的大數定律 4
§3.2常見的中心極限定理 5
§4、大數定律的應用 6
§4.1大數定律在數學分析中的應用 6
§4.1.1 在積分方面的應用 6
§4.1.2 在極限中的應用 7
§4.2大數定律在生產生活中的應用 9
§4.2.1 誤差方面的應用 9
§4.2.2 估計數學期望和方差 10
§4.3大數定律在經濟中的應用 11
§4.3.1 大數定律在保險業中的應用 11
§4.3.2 大數定律在銀行經營管理中的應用 12
§5、結束語 13
§6、致謝 13
參考文獻 14
（溫州大學數學與資訊科學學院 09統計
摘要： 大數定律顧名思義就是指當樣本資料量很大的時候，然後某一變數就會呈現出某種規律性，這一呈現出規律性的變數就是我們經常說的平均值，即當樣本資料量很大的時候，平均結果將穩定於某一穩定值。大數定律在概率論中的重要性不言而喻，而且其在數學領域以及經濟生活領域也有著非常重要的作用。
本文列舉了我們在大學階段經常遇到的一些大數定律和中心極限定理，通過一些具體的例題，介紹了常見的大數定律和中心極限定理在一些重要領域的應用，具體包括在數學分析中求極限和積分，**誤差，近似計算，以及在保險業和銀行經營管理方面的應用,進一步闡明了大數定律與中心極限定理在各分支學科中的重要作用和應用價值。
關鍵詞：大數定律；中心極限定理；經濟生活；應用
大數定律對於很多人來說都很陌生，即使學過概率論的也說不出個所以然。記得剛學大數定律的時候，覺得這個定理好難理解，書本反覆翻了幾次還是不懂。感覺這定理沒什麼作用，理論性這麼強，沒什麼應用價值。
直到後來學了中心極限定理，介紹了其大量應用，例如在保險業中的應用，可以說保險業離不開中心極限定理。這才知道自己錯了，原來大數定律也有著非常重要的作用，因為中心極限定理正是基於大數定律的基礎上而發展出來的定理，沒有大數定律作為基礎是不會有中心極限定理的。大數定律與中心極限定理是概率論中具有標誌性的兩類定理，其作用恰如一顆紐帶，很好地承接了概率論與數理統計。
大數定律所要闡明的是大量隨機現象平均結果的穩定性，即當樣本量很大的情況下，樣本的平均值可以近似看作總體平均值。因為在實際生活中，當我們要考查某一變數，總體資料統計起來往往難度過大甚至不可能，這時我們就需要用到大數定律。我們先統計總體的乙個樣本量，這個樣本量要足夠大，一般根據總體而定，然後考查這個樣本資料的特徵，最後樣本資料的結果可以近似看作是總體的結果。
例如：我們要考查某一地區居民的月平均消費水平，如果要去統計這一地區所有居民月消費額工作量就會太大，有了大數定律，我們只要抽取足夠數量的居民，統計他們的月消費額，最後這一樣本量的平均值就可以近似看作這一地區居民平均消費額。這種思想恰恰是概率論中最為重要的思想，而這種思想在數學領域也有著相當重要的作用。
對於中心極限定理我們要更為熟悉，它比大數定律論述更為詳細具體。中心極限定理主要論述的是其他分布和正態分佈之間的某種內在關係，一般對於某一總體，不管其服從什麼分布，泊松分布也好，二項分布也好，只要考查的樣本資料量足夠大，那麼樣本的均值就近似服從正態分佈。
對於大數定律，不少人可能有所耳聞，但是對於大數定律的發展歷史，可能就很少有人清楚了。我們都知道，大數定律研究的是隨機現象統計規律性的一類定理，當我們大量重複某一相同的實驗的時候，其最後的實驗結果可能會穩定在某一數值附近。就像拋硬幣一樣，當我們不斷地拋，拋個上千次，甚至上萬次，我們會發現，正面或者反面向上的次數都會接近一半。
除了拋硬幣，現實中還有許許多多這樣的例子，像擲骰子，最著名的實驗就是泊松拋針實驗。這些實驗都像我們傳達了乙個共同的資訊，那就是大量重複實驗最終的結果都會比較穩定。那穩定性到底是什麼？
怎樣去用數學語言把它表達出來？這其中會不會有某種規律性？是必然的還是偶然的？
這一系列問題其實就是大數定律要研究的問題。很早的時候，人們其實就發現了這一規律性現象，也有不少的數學家對這一現象進行了研究，這其中就包括伯努利（後來人們為了紀念他，都認為他是第乙個研究這一問題的人，其實在他之前也早有數學家研究過）。伯努利在2023年提出了乙個極限定理，當時這個定理還沒有名稱，後來人們稱這個定理為伯努利大數定律。
因此概率論歷史上第乙個有關大數定律的極限定理是屬於伯努利的，它是概率論和數理統計學的基本定律，屬於弱大數定律的範疇。
我們知道，當大量重複某一實驗時，最後的頻率無限接近事件概率。而伯努利成功地通過數學語言將現實生活中這種現象表達出來，賦予其確切的數學含義。他讓人們對於這一類問題有了新的認識，有了更深刻的理解，為後來的人們研究大數定律問題指明了方向，起到了引領作用，其為大數定律的發展奠定了基礎。
除了伯努利之外，還有許許多多的數學家為大數定律的發展做出了重要的貢獻，有的甚至花了畢生的心血，像德莫佛—拉普拉斯，李雅普諾夫，林德伯格，費勒，切比雪夫，辛欽等等。這些人對於大數定律乃至概率論的進步所起的作用都是不可估量的。
2023年，德莫佛—拉普拉斯經過推理證明，得出了二項分布的極限分布是正態分佈的結論，後來他又在原來的基礎上做了改進，證明了不止二項分布滿足這個條件，其他任何分布都是可以的，為中心極限定理的發展做出了偉大的貢獻。在這之後大數定律的發展出現了停滯。直到20世紀，李雅普諾夫又在拉普拉斯定理的基礎上做了自己的創新，他得出了特徵函式法，將大數定律的研究延伸到函式層面，這對中心極限定理的發展有著重要的意義。
到2023年，數學家們開始**中心極限定理在什麼條件下普遍成立，這才有了後來發表的林德伯格條件和費勒條件，這些成果對中心極限定理的發展都功不可沒。
經過幾百年的發展，大數定律體系已經很完善了，也出現了更多更廣泛的大數定律，例如切比雪夫大數定律，辛欽大數定律，泊松大數定律，馬爾科夫大數定律等等。正是這些數學家們的不斷研究，大數定律才得以如此迅速發展，才得以完善。
大數定律形式有很多種，我們僅介紹幾種最常用的大數定律。
定理1（伯努利大數定律）在n重伯努利實驗中，假設某一事件總共出現的次數為，並且每次試驗中該事件發生的概率是p，其中0
說明：這個定理以嚴謹的數學公式說明了我們剛才談到的現實中經常出現的現象，即當大量重複某一實驗時，最後實驗的頻率無限接近實驗的概率。所以，在現實生活和工作中，當試驗次數相當大時，就可以靈活地運用這個定理。
定理2（切比雪夫大數定律） 假設是一列隨機變數，並且兩兩互不相關，它們的方差有界，即存在常數，使得，那麼對於任意的，都有
在上述的定理中，因為用到切比雪夫不等式，而切比雪夫不等式對方差有這方面要求，其實方差這個條件並不是必要的。例如獨立同分布時的辛欽大數定律。
定理3（辛欽大數定律） 假設是獨立同分布的隨機變數序列，並且數學期望，且a是有限的，則對於任意的，有
上式也可表示為或，並且稱依概率收斂於。
定理4（泊松大數定律）假設是一組隨機變數序列，且兩兩相互獨立，並且有，，其中p, q滿足條件：，那麼我們稱服從泊松大數定律。
其實從某種程度上來講，泊松大數定律可以認為是伯努利大數定律的延伸與普及，我們知道伯努利大數定律以嚴謹的數學公式說明了現實中經常出現的現象，即當大量重複某一實驗時，最後實驗的頻率無限接近實驗的概率。但泊松大數定律說明的是，獨立進行的隨機試驗的頻率依舊具有其平穩性，即使實驗條件發生變化。這就是泊松大數定律比伯努利大數定律更為寬泛的地方。
定理5（馬爾科夫大數定律）對於隨機變數序列,若有則有.
定理 6（列維——林德伯格中心極限定理）
假設隨機變數是一系列獨立同分布的隨機變數,其數學期望和方差,則對任意實數,都有
我們又稱定理6為獨立同分布的中心極限定理,從這個定理可以看出正態分佈在概率論中的特殊地位,不管呈何種分布,但只要,則有隨機變數
或者我們可以說,當時,對於一系列隨機變數，只要滿足獨立同分布，則近似地服從正態分佈。
定理 7 （拉普拉斯中心極限定理）
假設隨機變數服從二項分布,那麼對於任意的有界區間,恒有表示式
成立，這就說明正態分佈是二項分布的極限分布。
一般地,如果,則
這個公式給出了當較大時，關於二項分布的概率計算方法。
定理 8 （林德伯格定理） 假設是一系列隨機變數序列，且相互獨立，而且還符合林德伯格的前提假設,則對任何存在的x,都有
這個定理證明了以下結論：大量微小而且獨立的隨機因素引起並積累而成的變數,必將是乙個正態隨機變數。由林德伯格條件可看到定理並不要求各個加項「同分布」,因而它比前面的列維——林德伯格中心極限定理更全面,事實上列維——林德伯格中心極限定理可以由該定理推出。
說明：中心極限定理討論的問題是獨立隨機變數和的分布的極限問題,通常在一定條件下,這些分布弱收斂於退化分布,我們稱這就是大數定律。而中心極限定理要證明的問題是，隨機變數和的分布與正態分佈之間的關係，在其服從正態分佈的基礎上再來**需滿足的條件。
中心極限定理從根本上讓我們認識了正態分佈產生的源泉,因而可以把中心極限定理看作是正態分佈解決各種實際問題的理論基礎。
§4.1大數定律在數學分析中的應用
我們知道有時候求積分，被積函式可能會比較複雜，原函式求不出來，然後用普通的近似方法也很難做到，這時我們就需要用到大數定律求解，以大數定律作為理論基礎，通過近似求解可獲得積分的近似值。
例1 令則，用隨機投點法求在區間上的積分的近似值.
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