不等式與不等式組

說明：涉及未知係數或絕對值式子的題目，均可用零點分段討論法解答．

例3、已知3a＋2b－6=ac＋4b－8=0且a≥b＞0求c的取值範圍．

分析：消去a，b得到關於c的不等式組，解不等式組得c的取值範圍．

分析：已知不等式組的解集，求某些字母的值(或範圍)是不等式組解集確定方法的逆向應用，處理這類問題時，可先求出原不等式組含有字母的解集，然後對照已知「對號入座」，應取有針對性的方法．

例6、東風商場文具部的某種毛筆每枝售價25元，書法練習本每本售價5元，該商場為**制定了兩種優惠方法：

甲：買一支毛筆就贈送一本書法練習本；

乙：按購買金額打九折付款．

某校欲為校書法興趣小組購買這種毛筆10支，書法練習本x(x≥10)本．

(1)寫出每種優惠辦法實際付款金額y甲(元)、y乙(元)與x(本)之間的關係式；

(2)比較購買同樣多的書法練習本時，按哪種優惠辦法付款更省錢；

(3)如果商場允許可以任意選擇一種優惠辦法購買，也可以同時用兩種優惠辦法購買，請你就購買這種毛筆10支和書法練習本60本設計一種更省錢的購買方案．

分析： (2)中比較哪種優惠辦法更省錢與購買練習本的數量有關，因此應分類討論；(3)中因為可同時用兩種優惠辦法購買，所以需要重新建立關於毛筆枝數的關係式求解．

解： (1)依題意，可得y甲=25×10＋5(x－10)=5x＋200(x≥10)；

y乙=(25×10＋5x)×90%=4.5x＋225(x≥10)

(2)由(1)有y甲－y乙=0.5x－25

當y甲－y乙=0時，解得x=50；

當y甲－y乙＞0時，解得x＞50；

當y甲－y乙＜0時，解得x＜50．

所以，當購買50本書法練習本時，兩種優惠辦法的實際付款一樣，即可任選一種辦法付款，當購買本數在10～50之間時，選擇優惠辦法甲付款更省錢；當購買本數大於50本時，選擇優惠辦法乙更省錢．

(3)①因為60＞50，由(2)知不考慮單獨選用優惠辦法甲購買．

若只用優惠辦法乙購買10支毛筆和60本書法練習本需付款(25×10＋5×60)×90%=495(元)

②若用優惠辦法乙購買m支毛筆，則須用優惠辦法甲購買(10－m)支毛筆，用優惠辦法乙購買60－(10－m)=m＋50本書法練習本，設付款總金額為p，則：

p=25(10－m)＋[25m＋5(m＋50)]×90%=2m＋475(0≤m≤10)

所以，當m=0即用優惠辦法甲購買10支毛筆，再用優惠辦法乙購買50本書法練習本時，p取得最小值為：2×0＋475=475(元)

故選用優惠辦法甲購買10支毛筆，再用優惠辦法乙購買50本書法練習本的方案最省錢．

例7、我市某化工廠現有甲種原料290kg，乙種原料212kg，計畫利用這兩種原料生產a、b兩種產品共80件，生產一件a產品需要甲種原料5kg，乙種原料1.5kg，生產成本是120元；生產一件b產品，需要甲種原料2.5kg，乙種原料3.

5kg，生產成本是200元．

(1)該化工廠現有的原料能否保證生產？若能的話，有幾種生產方案？請你設計出來．

(2)設生產a、b兩種產品的總成本為y元，其中一種生產的件數為x，試寫出y與x之間的關係式，並利用關係式說明(1)中哪種生產方案總成本最低？最低生產總成本是多少？

分析：若設安排生產a種產品x件，根據題意可建立關於x的不等式組，解出不等式組得x的取值範圍．由x為整數在取值範圍內確定x的取值，從而得出生產方案，然後由成本的已知條件求出x與y之間的關係式，根據此關係式求出最低生產總成本．

解： (1)設安排生產a種產品x件，則生產b種產品(80－x)件，依題意，可得：

解得：34≤x≤36

因為x為整數，所以x只能取34或35或36．

所以該工廠現有的原料能保證生產，有三種生產方案：

第一種：生產a種產品34件，b種產品46件；

第二種：生產a種產品35件，b種產品45件；

第三種：生產a種產品36件，b種產品44件．

(2)設生產a種產品x件，則生產b種產品(80－x)件，依題意，可得：

y=120x＋200(80－x)即y=－80x＋16000(x取34或35或36)

由式子可知，當x取最大值36時，y取最小值為－80×36＋16000=13120元，即第三種方案；生產a種產品36件，b種產品44件，總成本最低，最低生產成本是13120元．

說明：利用列不等式組然後求出不等式組的集，在其解集內求出符合條件(一般是整數)的值，是解方案設計型應用題的常用方法．