【例1】（2012全國大綱卷理22）函式，定義數列如下：，是過兩點、的直線與軸交點的橫座標.
（1）證明:；
（2）求數列的通項公式.
【證】（1）證：直線的方程為，即，
令，解得.
下用數學歸納法證明：
① 當時，，所以.
② 假設當時結論成立，即，則當時，
由，得，即，故.
由①②知，對一切都有.
從而，故.
綜上，.
（2）解：由（1）知，，則 ①， ②，
①②，得，故數列是首項為，公比為的等比數列.
因此，，解得： .
【例2】已知函式在開區間(0，1)內是增函式．
(ⅰ) 求實數a的取值範圍；
(ⅱ) 若數列滿，證明：．
(ⅰ) 解：，由於f (x)在(0，1)內是增函式，
∴，即在x∈(0，1)時恆成立．
∴ 恆成立，
而 －2＜x－2＜－1，
∴ ，
即 ，
∴ 即為所求．
(ⅱ) 證明：① 當n=1時，由題設知a1∈(0，1)．
② 假設當n=k時，不等式成立，即ak∈(0，1)，則
當n=k+1時，由(ⅰ)知，f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函式
∴，即ak+1∈(0，1)，故n=k+1時命題成立.
根據① ② 知0＜an＜1，n∈n*．
又 ∵，
∴．【例3】已知函式,數列{}滿足：，證明：
(ⅰ)；(ⅱ).
證明：(ⅰ) 先用數學歸納法證明
① 當n=1時，由已知，結論成立.
② 假設當n=k時結論成立，即，
因為時，，
所以在(0，1)上是增函式，又在[0，1]上連續，
從而，即，
故當n=k+1時，結論成立.
由①②可知，對一切正整數都成立.
又因為時，，
所以，綜上所述.
(ⅱ) 設函式，
由(ⅰ)可知，當時，.
從而,所以在（0，1）上是增函式.
又，所以當時， >0成立.
於是，即，
故．【例4】已知函式,數列滿足,; 數列滿足,.求證:
（ⅰ）（ⅱ）
（ⅲ）若則當n≥2時,.()
解: (ⅰ)先用數學歸納法證明,.
（1）當n=1時,由已知得結論成立;
（2）假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,因為0又f(x)在上連續,所以f(0) 故當n=k+1時,結論也成立. 即對於一切正整數都成立.
又由, 得,從而.
綜上可知
(ⅱ)建構函式g(x)= -f(x)=, 0 由,知g(x)在(0,1)上增函式.又g(x)在上連續,所以g(x)>g(0)=0.
因為,所以,即》0,從而
(ⅲ) 因為,所以, ,
所以 ————
由(ⅱ)知:, 所以= ,
因為, n≥2,
所以 <<=————.
由兩式可知:.
【例5】 設函式與數列滿足以下關係：
①，其中是方程的實根；
②；③的導數.
(ⅰ) 求證：；
(ⅱ) 判斷與的大小關係，並證明你的結論.
(ⅰ) 證：① 當時，，不等式成立.
② 假設當時不等式成立，即，則時，
∵，則遞增.
∴，即時不等式也成立.
由①、②知，對一切都成立
(ⅱ) 解：，
設，則，
∴遞減，而，
∴，即，亦即，
【例6】（2005江西）已知數列
（1）證明
（2）求數列的通項公式an.
解：（1）方法一用數學歸納法證明：
1°當n=1時，∴，命題正確.
2°假設n=k時有
則而又∴時命題正確.
由1°、2°知，對一切n∈n時有
方法二：用數學歸納法證明：
1°當n=1時，∴；
2°假設n=k時有成立，
令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設
有：即也即當n=k+1時成立，
所以由1°、2°知，對一切
（2）下面來求數列的通項：所以
,又bn=－1，所以
【拓展題】
【例】、數列滿足，且.（1）當時，求數列的通項公式；
（2）若不等式對一切恆成立，求的取值範圍；
（3）當時，證明：.
解：（1）當時，.
（2）①，要使對一切恆成立，
至少需使成立.
下面先用數歸法證明：當時， (略)，再由①知恆成立.
所以為所求.
（3）當時，由(2)知，則由
，從而，等號當且僅當時成立.
（2009安徽理21）首項為正數的數列滿足（1）證明：若為奇數，
則對一切都是奇數；（2）若對一切都有，求的取值範圍.
略解：（1）已知是奇數，假設是奇數，其中為正整數，
則由遞推關係得是奇數.（因為是偶數）
根據數學歸納法，對任何，都是奇數.
（2）（方法一）由知，當且僅當或.
另一方面，若則；若，則
根據數學歸納法，
綜合所述，對一切都有的充要條件是或.
（方法二）由得於是或.
，因為所以所有的均大於，因此與同號.
根據數學歸納法，，與同號.
因此，對一切都有的充要條件是或.
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二用數學歸納法證明不等式
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