勾股定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理。是乙個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。
在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外乙個證明[1]。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。[2]
中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。
展示各個學習小組從網路或書籍上尋找驗證勾股定理的方法。
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。 設△abc為一直角三角形，其中a為直角。從a點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。
延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：
1.如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（sas定理）
2.三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
3.任意乙個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
4.任意乙個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。
證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
1.設△abc為一直角三角形，其直角為cab。
2.其邊為bc、ab、和ca，依序繪成四方形cbde、bagf和acih。
3.畫出過點a之bd、ce的平行線。此線將分別與bc和de直角相交於k、l。
4.分別連線cf、ad，形成兩個三角形bcf、bda。
5.∠cab和∠bag都是直角，因此c、a和g都是線性對應的，同理可證b、a和h。
6.∠cbd和∠fba皆為直角，所以∠abd等於∠fbc。
7.因為ab和bd分別等於fb和bc，所以△abd必須相等於△fbc。
8.因為a與k和l在同一直線上，所以四方形bdlk必須二倍面積於△abd。
9.因為c、a和g在同一直線上，所以正方形bagf必須二倍面積於△fbc。
10.因此四邊形bdlk必須有相同的面bagf = ab。
11.同理可證，四邊形ckle必須有相同的面積acih = ac。
12.把這兩個結果相加，ab+ ac = bd×bk + kl×kc
13.由於bd=kl，bd×bk + kl×kc = bd(bk + kc) = bd×bc
14.由於cbde是個正方形，因此ab + ac = bc。
此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的，由於這個定理的證明依賴於平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。
《幾何原本》第1.47節（英文），歐幾里德著，2023年12月19日訪問）
二、圖形重新排列證法
此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a+b)2。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為a2+b2，右方餘下面積為c2，兩者相等。證畢。
三、利用相似三角形的證法
設abc為一直角三角形, 直角c（看附圖）. 從點c畫上三角形的高，並將此高與ab的交叉點稱之為h。此新三角形ach和原本的三角形abc相似，因為在兩個三角形中都有乙個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有a這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。
同樣道理，三角形cbh和三角形abc也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：
因為所以
可以寫成
綜合這兩個方程式，我們得到
換句話說:
四、加菲爾德證明勾股定理的故事
2023年乙個週末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德。他走著走著，突然發現附近的乙個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲**。由於好奇心驅使，加菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麼。
只見乙個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著乙個直角三角形。於是加菲爾德便問他們在幹什麼？那個小男孩頭也不抬地說：
「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」加菲爾德答道：「是5呀。
」小男孩又問道：「如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」加菲爾德不假思索地回答到：
「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方．」小男孩說：「先生，你能說出其中的道理嗎？」加菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。
加菲爾德不再散步，立即回家，潛心**小男孩給他出的難題。他經過反覆思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。
解：在網格內，以兩個直角邊為邊長的小正方形面積和，等於以斜邊為邊長的正方形面積。
勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方。
說明：中國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為「勾」，較長直角邊為「股」，斜邊稱為「弦」，所以把這個定理稱為「勾股定理」。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關係。
舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c的平方；= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5
則說明斜邊為5。
五、古人的方法
如圖，將圖中的四個直角三角形塗上綠色，把中間小正方形塗上白色，以弦為邊的正方形稱為弦實，然後經過拼補搭配，「令出入相補，各從其類」，他肯定了勾股弦三者的關係是符合勾股定理的。即「勾股各自誠，並之為弦實，開方除之，即弦也」。趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。
六、鄒元治的證明
以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於.把這四個直角三角形拼成如圖所示的形狀，使a、e、b三點在一條直線上，b、f、c三點在一條直線上，c、g、d三點再一條直線上。
七、梅文鼎的證明
做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，把它們拼成如圖那樣的乙個多邊形，使d、e、f在一條直線上。過c作ac的延長線交df於點p。
八、利用切割線定理證明
九、利用多列公尺定理證明
十、作直角三角形的內切圓證明
十一、辛卜松證明
以下是總結出的證明勾股定理的方法以及分類：
勾股定理的證明：分三種型別：
1.第一種型別：以趙爽的「弦圖」為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補，來證明代數式之間的恒等關係。
2.第二種型別：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明。
3.第三種型別：以劉徽的「青朱出入圖」為代表，「無字證明」。
第一種型別：以趙爽的「弦圖」為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補，來證明代數式之間的恒等關係。體現了以形證數、形數統
一、代數和幾何的緊密結合 。
1.方法一：三國時期吳國數學家趙爽在為《周髀算經》作註解時，創制了一幅「勾股圓方圖」， 也稱為「弦圖」，這是我國對勾股定理最早的證明。
2023年世界數學家大會在北京召開，這屆大會會標的**圖案正是經過藝術處理的「弦圖」，標誌著中國古代數學成就。
2.方法二：美國第二十任**伽菲爾德的證法，被稱為「**證法」。
如圖，梯形由三個直角三角形組合而成，利用面積公式，
列出代數關係式得：
化簡為：
3.方法三：據傳是當年畢達哥拉斯發現勾股定理時做出的證明。
將4個全等的直角三角形拼成邊長為(a＋b)的正方形abcd，使中間留下邊長c的乙個正方形洞。畫出正方形abcd．移動三角形至圖2所示的位置中，於是留下了邊長分別為a與b的兩個正方形洞。則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，所以c2=a2+b2
說明：以趙爽的「弦圖」為代表第一種型別證明方法,利用幾何圖形的截、割、拼、補，來證明代數式之間的恒等關係.它們的基本方法在前面兩節課中已經給予了一定介紹。
第二種型別：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義。
希臘數學家歐幾里得（euclid，西元前330～西元前275）在巨著《幾何原本》給出乙個公理化的證明。2023年希臘為了紀念二千五百年前古希臘在勾股定理上的貢獻，發行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成。
如圖，過 a 點畫一直線 al 使其垂直於 de， 並交de 於 l，交 bc 於 m。通過證明△bcf≌△bda，利用三角形面積與長方形面積的關係，得到正方形abfg與矩形bdlm等積，同理正方形ackh與矩形mlec也等積，於是推得。
第三種型別：以劉徽的「青朱出入圖」為代表，證明不需用任何數學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為「無字證明」。
1.約公元 263 年，三國時代魏國的數學家劉徽為古籍《九章算術》作注釋時，用「出入相補法」證明了勾股定理。
教師利用課件介紹「青朱出入圖」。
說明：教學中可以利用多**動態地展示出圖形的移動變化,讓學生很清楚地發現圖中:小正方形與較大正方形的面積和與最大正方形的面積之間的等量關係,從而不用運算,單靠移動幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理,真是「無字的證明」。
2.在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現的一種拼圖證明（如圖）。
3.義大利著名畫家達·芬奇的證法：
步驟：（1）在一張長方形的紙板上畫兩個邊長分別為a，b的正方形，並連線bc，fe。
（2）沿abcdef剪下，得兩個大小相同的紙板ⅰ、ⅱ。請動手做一做。
（3）將紙板ⅱ翻轉後與ⅰ拼成其他的圖形。
（4）比較兩個多邊形abcdef和a』b』c』d』 e』f』的面積，你能驗證勾股定理嗎？
說明：義大利著名畫家達·芬奇的證法，方法新穎，可以開闊學生的視野、豐富學生的想像；具有一定的操作性，但可能又一定難度，可以在課堂上稍作介紹,而留給學生在課後利用充足的時間進行研究。
勾股定理的證明方法
證法1 課本的證明 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a b c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a b，所以面積相等.即 整理得 證法2 鄒元治證明 以a b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三...
勾股定理的證明方法
緒論勾股定理是世界上應用最廣泛,歷史最悠久,研究最深入的定理之一,是數學 幾何中的重要且基本的工具。而數千年來，許多民族 許多個人對於這個定理之證明數不勝數，達三百餘種。可見，勾股定理是人類利用代數思想 數學思想解決幾何問題 生活實際問題的共同智慧型之結晶，也是公理化證明體系的開端。第一節勾股定理的...
勾股定理的證明方法
勾股定理是初等幾何中的乙個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至於古往今來，下至平民百姓，上至帝王 都願意 和研究它的證明 下面結合幾種圖形來進行證明。一 傳說中畢達哥拉斯的證法 圖1 左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和...