勾股定理的證明
【證法1】
做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
， 整理得 .
【證法2】
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上，b、f、c三點在一條直線上，c、g、d三點在一條直線上.
∵ rtδhae ≌ rtδebf,
∴ ∠ahe = ∠bef.
∵ ∠aeh + ∠ahe = 90,
∴ ∠aeh + ∠bef = 90.
∴ ∠hef = 180―90= 90.
∴ 四邊形efgh是乙個邊長為c的
正方形. 它的面積等於c2.
∵ rtδgdh ≌ rtδhae,
∴ ∠hgd = ∠eha.
∵ ∠hgd + ∠ghd = 90,
∴ ∠eha + ∠ghd = 90.
又∵ ∠ghe = 90,
∴ ∠dha = 90+ 90= 180.
∴ abcd是乙個邊長為a + b的正方形，它的面積等於.
【證法3】
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜
邊作四個全等的直角三角形，則每個直角
三角形的面積等於. 把這四個直角三
角形拼成如圖所示形狀.
∵ rtδdah ≌ rtδabe,
∴ ∠hda = ∠eab.
∵ ∠had + ∠had = 90，
∴ ∠eab + ∠had = 90，
∴ abcd是乙個邊長為c的正方形，它的面積等於c2.
∵ ef = fg =gh =he = b―a ,
∠hef = 90.
∴ efgh是乙個邊長為b―a的正方形，它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法4】（2023年美國**garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上.
∵ rtδead ≌ rtδcbe,
∴ ∠ade = ∠bec.
∵ ∠aed + ∠ade = 90,
∴ ∠aed + ∠bec = 90.
∴ ∠dec = 180―90= 90.
∴ δdec是乙個等腰直角三角形，
它的面積等於.
又∵ ∠dae = 90, ∠ebc = 90,
∴ ad∥bc.
∴ abcd是乙個直角梯形，它的面積等於.
∴ .∴ .
【證法5】（利用反證法證明）
如圖，在rtδabc中，設直角邊ac、bc的長度分別為a、b，斜邊ab的長為c，過點c作cd⊥ab，垂足是d.
假設，即假設 ，則由
==可知 ，或者 . 即 ad：ac≠ac：ab，或者 bd：bc≠bc：ab.
在δadc和δacb中，
∵ ∠a = ∠a，
∴ 若 ad：ac≠ac：ab，則
∠adc≠∠acb.
在δcdb和δacb中，
∵ ∠b = ∠b，
∴ 若bd：bc≠bc：ab，則
∠cdb≠∠acb.
又∵ ∠acb = 90，
∴ ∠adc≠90，∠cdb≠90.
這與作法cd⊥ab矛盾. 所以，的假設不能成立.∴ .
勾股定理16種證明方法
勾股定理的證明 證法1 課本的證明 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a b c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a b，所以面積相等.即 整理得 證法2 鄒元治證明 以a b 為直角邊，以c為斜邊做...
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勾股定理16種經典證明方法
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