成都外國語學校鄧忠全
在近幾年的高考中，有關不等式的綜合證明題做為壓軸題的非常多，其中相當一部分又是用數學歸納法證明的。但是，各種參考書或雜誌在研究此類問題時，都只談到與n有關的不等式可用數學歸納法證明，並落列了一些題解的過程，而沒有深入**：數學歸納法證明不等式的本質是什麼？
什麼時候能用或不能用數學歸納法證明不等式？又如何把一些不能用數學歸納法證明不等式的題，轉化為能用數學歸納法證明？，本文擬針對上述三個問題，進行分析研究。
數學歸納法證明不等式的典型型別有兩類，一類是與數列或數列求和有關的問題，另一類是函式迭代問題（本文不討論）。凡是與數列或數列求和有關的問題都可統一表述成的形式或近似於上述形式。
這種形式的關鍵步驟是由時，命題成立推導時，命題也成立。為了表示的方便，我們記，分別叫做左增量，右增量。那麼，上述證明的步驟可表述為
上述四步中，兩個「=」和「<」都是顯然成立的，（其中是由歸納假設而得），而「≤」是否成立，就需要判斷和證明了，既「」若成立，既可用數學歸納法證明；若不成立，則不能用數學歸納法證明。因此，可以這樣說，數學歸納法證明不等式的本質是證明「左增量≤右增量」，而判斷能否用數學歸納法證明不等式的標準就是看「左增量≤右增量」是否成立。
例1．06福建高考的最後一題的最後一問：
已知，求證：
本題要證後半節的關鍵是證
即證而此式顯然成立，所以可以用數學歸納法證明。
而要證前半節的關鍵是證
即證而此式顯然不成立，所以不能用數學歸納法證明。如果不進行判斷就用數學歸納法證前半節，忙乎半天，只會徒勞。
有時，中是以乘積形式出現，
且是顯然成立的。此時，可記
， 分別叫做左增倍，右增倍。那麼，用數學歸結法證明由時，成立推導成立，可表述為
和前面所講相似，上述四步中，兩個「=」和「<」都顯然成立，而「≤」是否成立，就需要判斷和證明了，既「」若成立，既可用數學歸納法證明；若不成立，則不能用數學歸納法證明。因此，可以這樣說，此時，數學歸納法證明不等式的本質是證「左增倍≤右增倍」，而判斷能否用數學歸納法證明不等式的標準就是看「左增倍≤右增倍」是否成立。
例2．求證
本題中，
是顯然成立的，所以可以用數學歸納法。
例3．06江西高考最後一題的最後一問可以轉化為：
求證：此題的不成立，不能用數學歸納法證明。
通過上述論述我們能清晰地知道哪時可用數學歸納法證明不等式，哪時不能用數學歸納法證明不等式，但我們還必須知道有些不能用數學歸納法證明的不等式，可以引入中間量改進為可用數學歸納法證明的不等式。下面先從理論上**。
命題：若（）不成立時
可將命題改為
其中（）成立，就可用數學歸納法證明，而很容易被其它方面證明，此時，改進就是成功的。
上述例3可改為證明
其中前半節用等比求和易證，而後半節可用數學歸納法證明。
數學歸納法證明不等式
例1.用數學歸納法證明不等式.證 當時,上式左邊右邊,不等式成立.設當時,不等式成立,即有.那麼,當時,例2已知x 1，且x0，nn n 2 求證 1 x n 1 nx.證明 1 當n 2時，左 1 x 2 1 2x x2 x0，1 2x x2 1 2x 右,n 2時不等式成立 2 假設n k k ...
用數學歸納法證明數列不等式
例1 2012全國大綱卷理22 函式，定義數列如下 是過兩點 的直線與軸交點的橫座標.1 證明 2 求數列的通項公式.證 1 證 直線的方程為，即，令，解得.下用數學歸納法證明 當時，所以.假設當時結論成立，即，則當時，由，得，即，故.由 知，對一切都有.從而，故.綜上，2 解 由 1 知，則 得，...
二用數學歸納法證明不等式
3.1.2復數的幾何意義 一 選擇題 1 如果複數a bi a，b r 在復平面內的對應點在第二象限，則 a a 0，b 0 b a 0，b 0 c a 0，b 0 d a 0，b 0 答案 d 解析 複數z a bi在復平面內的對應點座標為 a，b 該點在第二象限，需a 0且b 0，故應選d.2 ...