選修4-5學案 §4.1.1數學歸納法證明不等式姓名
☆學習目標：1. 理解數學歸納法的定義、數學歸納法證明基本步驟;
2. 會運用數學歸納法證明不等式
重點：應用數學歸納法證明不等式.
知識情景：
關於正整數n的命題(相當於多公尺諾骨牌),我們可以採用下面方法來證明其正確性：
10. 驗證n取時命題即n＝時命題成立) (歸納奠基） ；
20. 假設當時命題成立，證明當n=k＋1時命題 (歸納遞推）.
30. 由10、20知，對於一切n≥的自然數n命題結論）
要訣: 遞推基礎歸納假設結論寫明 .
☆ 數學歸納法的應用：
例1. 用數學歸納法證明不等式.
例2已知x> 1，且x0，nn*，n≥2．求證：(1+x)n>1+nx.
例3 證明: 如果為正整數)個正數的乘積,
那麼它們的和.
例4 證明:
例5.當時,求證:
選修4-5練習 §4.1.1數學歸納法證明不等式（1） 姓名
1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數m,使得對任意n∈n,都能使m整除f(n)，則最大的m的
值為( )
a.30b.26c.36d.6
2、.觀察下列式子：
…則可歸納出
3、已知, , 則的值分別為由此猜想
4、用數學歸納法證明: 能被8整除.
5、用數學歸納法證明
6、.用數學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈n
7、求證：
8、已知，， 用數學歸納法證明：
9、.求證：用數學歸納法證明 ．
答案:1. 關於正整數n的命題(相當於多公尺諾骨牌),我們可以採用下面方法來證明其正確性：
10. 驗證n取第乙個值時命題成立( 即n＝時命題成立) (歸納奠基） ；
20. 假設當n=k時命題成立，證明當n=k＋1時命題也成立(歸納遞推）.
30. 由10、20知，對於一切n≥的自然數n命題都成立！(結論）
要訣: 遞推基礎不可少,歸納假設要用到,結論寫明莫忘掉.
例1 ⑴當時,上式左邊右邊,不等式成立.
設當時,不等式成立,即有.
那麼,當時,
例2 證明:(1)當n=2時，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2時不等式成立
（2）假設n=k(k≥2)時，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
當n=k+1時，因為x> 1 ，所以1+x>0，於是
左邊=(1+x)k+1 右邊=1+(k+1)x．
因為kx2＞0，所以左邊＞右邊，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
這就是說，原不等式當n=k+1時也成立．
根據(1)和(2)，原不等式對任何不小於2的自然數n都成立.
例3 證明:⑴當時,有，命題成立.
⑵設當時，命題成立，即若個正數的乘積,
那麼它們的和.
那麼當時,已知個正數滿足.
若個正數都相等,則它們都是1.其和為,命題成立.
若這個正數不全相等,則其中必有大於1的數,也有小於1的數
否則與矛盾).不妨設.
例4證:(1)當n=1時,左邊= ,右邊= ,由於故不等式成立.
(2)假設n=k( )時命題成立,即
則當n=k+1時,
即當n=k+1時,命題成立.
由(1)、(2)原不等式對一切都成立.
例5（1）
練習1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1 －(2k+7)·3k
=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2 (k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大於36的數整除，∴所求最大的m值等於36. 答案：c
2、解析：
(n∈n*)
(n∈n*)
、、、4、證:(1)當n=1時,a1=5+2+1=8,命題顯然成立.
(2)假設當n=k時,ak能被8整除,即是8的倍數.
那麼:因為ak是8的倍數,3k-1+1是偶數即4(3k-1+1)也是8的倍數,所以ak+1也是8的倍數,
即當n=k+1時,命題成立.
由(1)、(2)知對一切正整數n, an能被8整除.
5．證明： 1當n=1時，左邊=1-=，右邊==，所以等式成立。
2假設當n=k時，等式成立，
即。那麼，當n=k+1時，
這就是說，當n=k+1時等式也成立。
綜上所述，等式對任何自然數n都成立。
6．證明：(1)當n=1時，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3
42k+1·13+3·(42k+1+3k+2 )
42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
當n=k+1時也成立.
由①②知，當n∈n*時，42n+1+3n+2能被13整除.
7．證明：（1）當n=2時，右邊=，不等式成立．
（2）假設當時命題成立，即．
則當時，
所以則當時，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立．
8. 證明：
（1）當n=2時，，∴命題成立．
（2）假設當時命題成立，即 ．
則當時，
所以則當時，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立．
9、證明：（1） 當n=1時， ，不等式成立；
當n=2時， ，不等式成立；
當n=3時， ，不等式成立．
（2）假設當時不等式成立，即 ．
則當時， ，
從而，∴．即當時，不等式也成立．
由（1），（2）可知，對一切都成立．
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