數學歸納法製作人：徐凱
精講部分：
年級：高三科目：數學型別：同步
難易程度：中建議用時：20-25min
一.知識點：
(1)數學歸納法的定義
一般地，證明乙個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：―→↓
―→只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．這種證明方法叫做數學歸納法．
(2)數學歸納法的框圖表示
二.典例分析
題型一用數學歸納法證明不等式問題
例1 用數學歸納法證明：＋＋＋…＋<1－ (n≥2，n∈n*)．
證明 (1)當n＝2時，左式＝＝，右式＝1－＝.因為<，所以不等式成立．
(2)假設n＝k(k≥2，k∈n*)時，不等式成立，即＋＋＋…＋<1－，
則當n＝k＋1時，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－＝1－<1－＝1－，
所以當n＝k＋1時，不等式也成立．
綜上所述，對任意n≥2的正整數，不等式都成立．
題型二用數學歸納法證明整除性問題
例2 用數學歸納法證明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．
證明 ①當n＝1時，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．
②假設n＝k(k∈n*)時，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，則當n＝k＋1時，
f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由歸納假設3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶數，所以18(3k－1－1)能被36整除，
所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，對任意的n∈n*，f(n)能被36整除．
題型三用數學歸納法證明幾何問題
例3 用數學歸納法證明凸n邊形的對角線有n(n－3)條．
證明 ①當n＝3時， n(n－3)＝0，這就說明三角形沒有對角線，故結論正確．
②假設當n＝k(k≥3，k∈n*)時結論正確，即凸k邊形的對角線有k(k－3)條，
當n＝k＋1時，凸(k＋1)邊形是在k邊形基礎上增加了一邊，增加了乙個頂點，設為ak＋1，增加的對角線是頂點ak＋1與不相鄰頂點的連線再加上原k邊形一邊a1ak，共增加了對角線的條數為k－2＋1＝k－1.∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝ (k2－k－2)＝ (k＋1)(k－2)
＝ (k＋1)[(k＋1)－3]故當n＝k＋1時命題成立．由(1)(2)知，對任意n≥3，n∈n*，命題成立．
題型四歸納—猜想—證明
例4 在數列，中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數列，bn，an＋1，bn＋1成等比數列(n∈n*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測，的通項公式，並證明你的結論；
(2)證明：＋＋…＋＜.
(1)解由條件得2bn＝an＋an＋1，
a＝bnbn＋1.
由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用數學歸納法證明：
①當n＝1時，由上可得結論成立．
②假設當n＝k(k∈n*)時，結論成立．即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那麼當n＝k＋1時，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)
＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，bk＋1＝＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2，
所以當n＝k＋1時，結論也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數都成立．
(2)證明 ＝＜.n≥2時，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.
故綜上，原不等式成立．
三.課堂小結：
1．數學歸納法證明與正整數有關的命題，包括等式、不等式、數列問題、整除問題、幾何問題等．
2．證明問題的初始值n0不一定，可根據題目要求和問題實際確定n0.
3．從n＝k到n＝k＋1要搞清「項」的變化，不論是幾何元素，還是式子，一定要用到歸納假設．
精練部分：
年級：高一科目：數學型別:同步
難易程度：中建議用時：隨堂練習10-15min 課後作業30min
四.隨堂練習：
1．某個命題與正整數n有關，若n＝k(k∈n*)時命題成立，那麼可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現已知n＝5時，該命題不成立，那麼可以推得( )
a．n＝6時該命題不成立
b．n＝6時該命題成立
c．n＝4時該命題不成立
d．n＝4時該命題成立
答案 c
解析 ∵n＝k(k∈n*)時命題成立，那麼可推得當n＝k＋1時該命題成立．∴若n＝5時，該命題不成立，則n＝4時該命題不成立．
2．用數學歸納法證明「當n為正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除」時，第一步驗證n＝1時，命題成立，第二步歸納假設應寫成( )
a．假設n＝2k＋1(k∈n*)時命題正確，再推證n＝2k＋3時命題正確
b．假設n＝2k－1(k∈n*)時命題正確，再推證n＝2k＋1時命題正確
c．假設n＝k(k∈n*)時命題正確，再推證n＝k＋2時命題正確
d．假設n≤k(k∈n*)時命題正確，再推證n＝k＋2時命題正確
答案 b
解析因n為正奇數，所以否定c、d項；當k＝1時，2k－1＝1,2k＋1＝3，故選b.
3．用數學歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈n*)第一步應驗證________．
答案 n＝3時是否成立
解析 n的最小值為3，所以第一步驗證n＝3時是否成立．
4．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時，從「n＝k」到「n＝k＋1」，左邊需增添的代數式是________．
答案 (2k＋2)＋(2k＋3)
解析當n＝k時，左邊是共有2k＋1個連續自然數相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以當n＝k＋1時，左邊共有2k＋3個連續自然數相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左邊需增添的代數式是(2k＋2)＋(2k＋3)．
5.用數學歸納法證明62n－1＋1(n∈n*)能被7整除．
證明 (1)當n＝1時，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假設當n＝k(k∈n*，且k≥1)時，62k－1＋1能被7整除．
那麼當n＝k＋1時，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴當n＝k＋1時，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)，(2)知命題成立．
6.用數學歸納法證明：對一切大於1的自然數n，不等式…>成立．
證明 (1)當n＝2時，左＝1＋＝，右＝，左》右，∴不等式成立．
(2)假設n＝k(k≥2且k∈n*)時，不等式成立，即…>，
那麼當n＝k＋1時， …>·＝＝>＝＝，
∴n＝k＋1時，不等式也成立．
由(1)(2)知，對一切大於1的自然數n，不等式都成立．
五.課後作業：
1．用數學歸納法證明「2n>n2＋1對於n≥n0的自然數n都成立」時，第一步證明中的起始值n0應取( )
a．2 b．3 c．5 d．6
答案 c
解析當n取1、2、3、4時2n>n2＋1不成立，當n＝5時，25＝32>52＋1＝26，第乙個能使2n>n2＋1的n值為5，故選c.
2．用數學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞ (n∈n*)成立，其初始值至少應取( )
a．7 b．8 c．9 d．10
答案 b
解析左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8.
3．用數學歸納法證明不等式＋＋…＋> (n∈n*)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時，下列說法正確的是( )
a．增加了一項 b．增加了兩項和
c．增加了b中的兩項，但又減少了一項
d．增加了a中的一項，但又減少了一項
答案 c
解析當n＝k時，不等式左邊為＋＋…＋，當n＝k＋1時，不等式左邊為＋＋…＋＋＋，故選c.
4．k(k≥3，k∈n*)稜柱有f(k)個對角面，則(k＋1)稜柱的對角面個數f(k＋1)為( )
a．f(k)＋k－1 b．f(k)＋k＋1 c．f(k)＋k d．f(k)＋k－2
答案 a
解析三稜柱有0個對角面，四稜柱有2個對角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五稜柱有5個對角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六稜柱有9個對角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k稜柱有f(k)個對角面，則(k＋1)稜柱有f(k)＋k－1個對角面．
5．對於不等式≤n＋1(n∈n*)，某學生的證明過程如下：①當n＝1時，≤1＋1，不等式成立．
②假設n＝k(n∈n*)時，不等式成立，即≤k＋1，則n＝k＋1時，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以當n＝k＋1時，不等式成立，上述證法( )
a．過程全部正確 b．n＝1驗證不正確
c．歸納假設不正確 d．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
答案 d
解析從n＝k到n＝k＋1的推理中沒有使用歸納假設，不符合數學歸納法的證題要求．
6．用數學歸納法證明「n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈n*)能被9整除」，要利用歸納假設證n＝k＋1時的情況，只需展開________．
答案 (k＋3)3
解析假設當n＝k時，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．當n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設，只需將(k＋3)3展開，讓其出現k3即可．
7．已知數列的前n項和為sn，且a1＝1，sn＝n2an(n∈n*)．依次計算出s1，s2，s3，s4後，可猜想sn的表示式為________．
答案 sn＝
解析 s1＝1，s2＝，s3＝＝，s4＝，猜想sn＝.
8．已知正數數列(n∈n*)中，前n項和為sn，且2sn＝an＋，用數學歸納法證明：an＝－.
證明 (1)當n＝1時．a1＝s1＝∴a＝1(an>0)，∴a1＝1，又－＝1，
∴n＝1時，結論成立．
(2)假設n＝k(k∈n*)時，結論成立，即ak＝－.
數學歸納法
最小數原理 已知，則，使得。證明若是有限集，且，那麼中元素可以按小到大的順序排列，取為其中最小的那個元素，則，使得。若為無限集，且，那麼是可列的，因而中元素可以按小到大的順序列出，取為其中最小的那個元素，則，使得。綜上所述，若，則，使得。定理 設a是乙個非空集合，對，命題p n 成立 假如，命題p ...
數學歸納法 整理
數學歸納法 資料 學歸納法證明與遞迴定義法的合法性依據 如何避免乙個表面上的 惡性迴圈 即用歸納法定義自然數，然後由此出發來證明自然數上數學歸納法的可行性?算術理論的形式展開 乙個少年時代的疑問之終結 如何嚴格證明加法與乘法的結合律，交換律與分配律?定律 postulates 轉化為 定理 theo...
27數學歸納法
課題 數學歸納法 編制人 魏紅霍川川孫劉軍張海審核 審批 使用說明及學法指導 1.先仔細閱讀教材p69 p73,再思考知識梳理所提問題，有針對性的二次閱讀教材，構建知識體系，畫出知識樹 2.限時30分鐘獨立 規範完成 部分，並總結規律方法.課程核心 數學歸納法的原理和應用。重點 數學歸納法的定義 難...