數學歸納法(資料)
學歸納法證明與遞迴定義法的合法性依據(如何避免乙個表面上的「惡性迴圈」,即用歸納法定義自然數，然後由此出發來證明自然數上數學歸納法的可行性?)
算術理論的形式展開 . (乙個少年時代的疑問之終結：如何嚴格證明加法與乘法的結合律，交換律與分配律? 「定律」(postulates)轉化為「定理」(theorems))^ *
digression, 歸納與遞迴的數值與非數值形式， 不動點計算 over sets.
歸納與遞迴
目錄中文摘要 1
abstract 1
引言 2
1. 數學歸納法的歷史由來 1
1．1 基本步驟 2
1．2 基本形式 3
⒉．數學歸納法解決應用問題 4
2．1 代數恒等式方面的問題 4
2．2 幾何方面的應用 4
2．3 排列和組合 5
2．4 對於不等式的證明，有時適當放大或縮小，有時用綜合法和分析法 6
3. 常見誤區及剖析 7
3．1 忽略了歸納的基礎 7
3．2 歸納推理出錯 7
4. 應用技巧 9
4．1 配湊「歸納假設」法 9
4．2 分析法 10
5. 數學歸納法的推廣 11
6. 小結 12
參考文獻 13
1、數學歸納法的理論依據
2、數學歸納法的表現形式
2.1.第一數學歸納法
2.2.第二數學歸納法
2.3.反向歸納法
3、數學歸納法的應用
3.1.數學歸納法在初等代數中的應用
3.2.數學歸納法在高等數學中的應用
3.3.數學歸納法在離散數學中的應用
3.4.數學歸納法在中學競賽中的應用
4、對數學歸納法的認識
5.數學歸納法在應用中要注意的問題
5.1在應用第一數學歸納法時，只有第2步而無第1步的證明可能導致錯誤.
5.2在應用第一數學歸納法時，只第1步驟而無第2步驟的歸納證明可能導致錯誤的結論.
5.3並不是凡與自然數相關的命題都要用數學歸納法來證明，而且也不是所有這類命題都能用數學歸納法給以證明的.
摘要11.數學歸納法的定義概述2
1.1常用數學證明方法2
1.2數學歸納法的定義3
2.數學歸納法的步驟4
3.易錯分析5
3.1弄不清到時的式子變化5
3.2運用數學歸納法時忽略了時的假設條件5
4.運用數學歸納法的典型例題5
5.中學數學中關於數學歸納法的用途6
參考文獻6
中文摘要
英文摘要
1 引言1
2 數學歸納法原理1
2.1 良序原理1
2.2 數學歸納法2
2.3 第二數學歸納法3
2.4 數學歸納法的有效性4
3 數學歸納法應用舉例4
3.1 數學歸納法在解題和證明中的一些應用4
3.2 數學歸納法在遞迴定義上的應用10
3.3 數學歸納法在遞迴演算法上的應用13
參考文獻17
歸納法的特點
求同法求異法求同求異並用法
共變法剩餘法
七在高等數學中的歸納法運用舉例
總結遞迴法
設乙個未知函式f，用其自身構成的已知函式g來定義：
f(n)=g(n，f(n-1)) n>0
f(0)=an=0
為了定義f(n)，必須先定義f(n-1)，為了定義f(n-1)，又必須先定義f(n-2)…，上述這種用自身的簡單情況來定義自己的方式稱為遞迴定義。
乙個遞迴定義必須是有確切含義的，也就是說，必須一步比一步簡單，最後是有終結的，決不能無限迴圈下去。在f(n)的定義中，當n為0時定義乙個已知數a，是最簡單的情況，稱為遞迴邊界，它本身不再使用遞迴的定義。與遞推一樣，每乙個遞迴定義都有其邊界條件。
但不同的是，遞推是由邊界條件出發，通過遞推式求f(n)的值，從邊界到求解的全過程十分清楚； 而遞迴則是從函式自身出發來達到邊界條件。在通往邊界條件的遞迴呼叫過程中，系統用堆疊把每次呼叫的中間結果(區域性變數和返回位址值)儲存在棧區，直至求出遞迴邊界值f(0)=a。然後返**用函式。
返回過程中，中間結果相繼出棧恢復，f(1)=g(1，a) → f(2)=g(2，f(1)) →…→ f(n)=g(n，f(n-1))為止。
描述遞迴定義的函式或求解遞迴問題的過程稱為遞迴演算法。乙個遞迴演算法，本質上是將較複雜的處理歸結為簡單處理，直到最簡單的處理。從實際問題中抽象遞迴定義和邊界條件的過程是一種歸納，通過這種歸納方式能使乙個蘊含遞迴關係且結構複雜的程式簡潔精煉，增加可讀性。
特別是在難於找到從邊界到解的全過程的情況下，如果把問題推進一步，其結果仍維持原問題的關係，則採用遞迴演算法程式設計比較合適。但遞迴演算法也有致命的缺點，其執行的效率比較低，尤其在邊界條邊設定不當的情況，極有可能陷入死迴圈或者記憶體溢位的窘境。遞迴按其呼叫方式分
1. ⑴直接遞迴──過程p直接自己呼叫自己；
⑵間接遞迴──即過程ｐ呼叫一過程ｄ，而過程ｄ又呼叫過程p，即兩個過程都通過另一過程呼叫它們自己，故稱為間接遞迴；
由於人們通常使用直接遞迴方式程式設計，很少有人問津間接遞迴，因此這裡主要介紹直接遞迴方式。遞迴演算法適用的一般場合為：
1、資料的定義形式按遞迴定義。如裴波那數列的定義fn =fn-1 +fn-2 ，f0 =1，f1 =2。對應的遞迴程式為：
function fib(n:integer)：integer；
begin
if n=0 then fib←1遞迴邊界}
else if n=1 then fib←2
else fib←fib(n-2)+fib(n-1遞迴}
end；
這類遞迴問題可轉化為遞推演算法，遞迴邊界作為遞推的邊界條件。例如上例
f[0]←1；f[1]←2遞推邊界}
for i←2 to n do f[i]←f[i-1]+f[i-2]；
fib←f(n)；
2、資料之間的關係(即資料結構)按遞迴定義。如樹的遍歷，圖的搜尋等。
3、有些問題本身沒有明顯的遞迴結構，但使用遞迴求解比其它方法更簡單。例如遞迴的分治策略
對於2、3，可利用堆疊結構將其轉換為非遞迴演算法，但結構不如遞迴演算法簡潔清晰，可讀性較差。限於篇幅，這裡不作介紹。編寫遞迴程式時應注意解決如下幾個問題：
2. ⑴問題的遞迴定義，即如何用自身的簡單情況定義自己；
3. ⑵遞迴邊界，即遞迴至哪個邊界值後開始回溯；
4. ⑶參與遞迴運算的變數有哪些，其中哪些作為值參，哪些作為區域性變數。如果有全域性變數參與遞迴運算的話（初始值由主程式傳入，受記憶體限制不便作為值參），回溯過程中必須恢復其遞迴前狀態；
【例題11.3.4】計算交點數
在平面上有n條直線，且無三線共點。問這些直線能有多少種不同的交點數。
輸入： n
輸出： 以下若干行列出所有相交方案。其中一行為乙個交點數。
分析：我們將n條直線排成乙個序列。直線2與直線1最多有乙個交點；直線3與直線1和直線2最多有2個交點，……，直線n與其它n-1條直線有n-1個交點。
由此得出n條直線互不平行且無三線交於一點的最多交點數為1+2+…+（n-1）=。設
0≤i≤）
我們來具體分析n=4的情況
⑴ 四條直線全部平行，無交點，g[0]=1
⑵ 其中三條直線平行，交點數為(n-1)*1+0=3，g[3]=1
⑶ 其中二條直線平行。這兩條直線與另外兩條直線之間的交點數為(n-2)*2=4。而另外兩條直線本身既可能平行亦可能相交，因此交點資料分別為
n-2)*2+0=4 g[4]=1
n-2)*2+1=5 g[5]=1
數學歸納法
數學歸納法製作人 徐凱 精講部分 年級 高三科目 數學型別 同步 難易程度 中建議用時 20 25min 一.知識點 1 數學歸納法的定義 一般地，證明乙個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立 這種證明方法叫做數學歸納法 2 數學...
數學歸納法
最小數原理 已知，則，使得。證明若是有限集，且，那麼中元素可以按小到大的順序排列，取為其中最小的那個元素，則，使得。若為無限集，且，那麼是可列的，因而中元素可以按小到大的順序列出，取為其中最小的那個元素，則，使得。綜上所述，若，則，使得。定理 設a是乙個非空集合，對，命題p n 成立 假如，命題p ...
27數學歸納法
課題 數學歸納法 編制人 魏紅霍川川孫劉軍張海審核 審批 使用說明及學法指導 1.先仔細閱讀教材p69 p73,再思考知識梳理所提問題，有針對性的二次閱讀教材，構建知識體系，畫出知識樹 2.限時30分鐘獨立 規範完成 部分，並總結規律方法.課程核心 數學歸納法的原理和應用。重點 數學歸納法的定義 難...