§3.1.2復數的幾何意義
一、選擇題
1．如果複數a＋bi(a，b∈r)在復平面內的對應點在第二象限，則( )
a．a>0，b<0
b．a>0，b>0
c．a<0，b<0
d．a<0，b>0
[答案] d
[解析] 複數z＝a＋bi在復平面內的對應點座標為(a，b)，該點在第二象限，需a<0且b>0，故應選d.
2．在復平面內，複數6＋5i，－2＋3i對應的點分別為a，b.若c為線段ab的中點，則點c對應的複數是( )
a．4＋8i
b．8＋2i
c．2＋4i
d．4＋i
[答案] c
[解析] 由題意知a(6,5)，b(－2,3)，ab中點c(x，y)，則x＝＝2，y＝＝4，
∴點c對應的複數為2＋4i，故選c.
3．當a．第一象限
b．第二象限
c．第三象限
d．第四象限
[答案] d
[解析] ∵＜m＜1，∴3m－2>0，m－1＜0，
∴點(3m－2，m－1)在第四象限．
4．複數z＝－2(sin100°－icos100°)在復平面內所對應的點z位於( )
a．第一象限
b．第二象限
c．第三象限
d．第四象限
[答案] c
[解析] z＝－2sin100°＋2icos100°.
∵－2sin100°<0,2cos100°<0，
∴z點在第三象限．故應選c.
5．若a、b∈r，則複數(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i對應的點在( )
a．第一象限
b．第二象限
c．第三象限
d．第四象限
[答案] d
[解析] a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
所以對應點在第四象限，故應選d.
6．設z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈r，則以下結論中正確的是( )
a．z對應的點在第一象限
b．z一定不是純虛數
c．z對應的點在實軸上方
d．z一定是實數
[答案] c
[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可負、可為0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除a、b、d，選c.
7．下列命題中假命題是( )
a．複數的模是非負實數
b．複數等於零的充要條件是它的模等於零
c．兩個複數模相等是這兩個複數相等的必要條件
d．複數z1>z2的充要條件是|z1|＞|z2|
[答案] d
[解析] ①任意複數z＝a＋bi(a、b∈r)的模|z|＝≥0總成立．∴a正確；
②由複數相等的條件z＝0.|z|＝0，故b正確；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈r)
若z1＝z2，則有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i時|z1|＝|z2|，故c正確；
④不全為零的兩個複數不能比較大小，但任意兩個複數的模總能比較大小，∴d錯．
8．已知複數z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小於，則實數x的取值範圍是( )
a．－b．x<2
c．x>－
d．x＝－或x＝2
[答案] a
[解析] 由題意知(x－1)2＋(2x－1)2<10，
解之得－9．已知複數z1＝a＋bi(a，b∈r)，z2＝－1＋ai，若|z1|<|z2|，則實數b適合的條件是( )
a．b<－1或b>1
b．－1c．b>1
d．b>0
[答案] b
[解析] 由|z1|<|z2|得<，
∴b2<1，則－110．復平面內向量表示的複數為1＋i，將向右平移乙個單位後得到向量，則向量與點a′對應的複數分別為( )
a．1＋i,1＋i
b．2＋i,2＋i
c．1＋i,2＋i
d．2＋i,1＋i
[答案] c
[解析] 由題意＝，對應複數為1＋i，點a′對應複數為1＋(1＋i)＝2＋i.
二、填空題
11．如果複數z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈r)對應的點在第一象限，則實數m的取值範圍為
[答案] ∪
[解析] 複數z對應的點在第一象限
需解得：m《或m>.
12．設複數z的模為17，虛部為－8，則複數z
[答案] ±15－8i
[解析] 設複數z＝a－8i，由＝17，
∴a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.
13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈r)，若複數z對應點位於復平面上的第二象限，則m的取值範圍是________．
[答案] 3[解析] 將複數z變形為z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i
∵複數z對應點位於復平面上的第二象限
∴解得314．若t∈r，t≠－1，t≠0，複數z＝＋i的模的取值範圍是________．
[答案] [，＋∞)
[解析] |z|2＝2＋2≥2·＝2.
∴|z|≥.
三、解答題
15．實數m取什麼值時，復平面內表示複數z＝2m＋(4－m2)i的點
(1)位於虛軸上；
(2)位於
一、三象限；
(3)位於以原點為圓心，以4為半徑的圓上．
[解析] (1)若復平面內對應點位於虛軸上，則2m＝0，即m＝0.
(2)若復平面內對應點位於
一、三象限，則2m(4－m2)>0，解得m<－2或0(3)若對應點位於以原點為圓心，4為半徑的圓上，
則＝4即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.
16．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，對於任意的x∈r，均有|z1|>|z2|成立，試求實數a的取值範圍．
[解析] |z1|＝，|z2|＝|x2＋a|
因為|z1|>|z2|，所以》|x2＋a|
x4＋x2＋1>(x2＋a)2(1－2a)x2＋(1－a2)>0恆成立．
不等式等價於1－2a＝0或
解得－1所以a的取值範圍為.
17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝sinθ＋icosθ，當θ為何值時
(1)z1＝z2；
(2)z1，z2對應點關於x軸對稱；
(3)|z2|<.
[解析] (1)z1＝z2
θ＝2kπ＋(k∈z)．
(2)z1與z2對應點關於x軸對稱
θ＝2kπ＋π(k∈z)．
(3)|z2|<<
3sin2θ＋cos2θ<2sin2θ<
kπ－<θ18．已知複數z1＝－i及z2＝－＋i.
(1)求||及||的值並比較大小；
(2)設z∈c，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點z的軌跡是什麼圖形？
[解析] (1)| |＝|＋i|＝＝2
||＝＝1.∴||＞||.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
因為|z|≥1表示圓|z|＝1外部所有點組成的集合．
|z|≤2表示圓|z|＝2內部所有點組成的集合，
∴1≤|z|≤2表示如圖所示的圓環．
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