考情解讀 1.在高考中主要考查利用不等式的性質進行兩數的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規劃問題．基本不等式主要考查求最值問題，線性規劃主要考查直接求最優解和已知最優解求引數的值或取值範圍問題.2.
多與集合、函式等知識交匯命題，以選擇、填空題的形式呈現，屬中檔題．
1．四類不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最後根據相應二次函式圖象與x軸的位置關係，確定一元二次不等式的解集．
(2)簡單分式不等式的解法
①變形》0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；
②變形≥0(≤0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)簡單指數不等式的解法
①當a>1時，af(x)>ag(x)f(x)>g(x)；
②當0ag(x)f(x)(4)簡單對數不等式的解法
①當a>1時，logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；
②當0logag(x)f(x)0，g(x)>0.
2．五個重要不等式
(1)|a|≥0，a2≥0(a∈r)．
(2)a2＋b2≥2ab(a、b∈r)．
(3)≥(a>0，b>0)．
(4)ab≤()2(a，b∈r)．
(5)≥≥≥(a>0，b>0)．
3．二元一次不等式(組)和簡單的線性規劃
(1)線性規劃問題的有關概念：線性約束條件、線性目標函式、可行域、最優解等．
(2)解不含實際背景的線性規劃問題的一般步驟：①畫出可行域；②根據線性目標函式的幾何意義確定最優解；③求出目標函式的最大值或者最小值．
4．兩個常用結論
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恆成立的條件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恆成立的條件是
熱點一一元二次不等式的解法
例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為( )
a．b．
d．(2)已知函式f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函式，且在(0，＋∞)單調遞增，則f(2－x)>0的解集為( )
a． b． d．{x|0思維啟迪 (1)利用換元思想，設10x＝t，先解f(t)>0.(2)利用f(x)是偶函式求b，再解f(2－x)>0.
答案 (1)d (2)c
解析 (1)由已知條件0<10x<，解得x(2)由題意可知f(－x)＝f(x)．
即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恆成立，
故2a－b＝0，即b＝2a，則f(x)＝a(x－2)(x＋2)．
又函式在(0，＋∞)單調遞增，所以a>0.
f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.
故選c.
思維昇華二次函式、二次不等式是高中數學的基礎知識，也是高考的熱點，「三個二次」的相互轉化體現了轉化與化歸的數學思想方法．
(1)不等式≤0的解集為( )
a．(－，1]
b．[－，1]
c．(－∞，－)∪[1，＋∞)
d．(－∞，－]∪[1，＋∞)
(2)已知p：x0∈r，mx＋1≤0，q：x∈r，x2＋mx＋1>0.若p∧q為真命題，則實數m的取值範圍是( )
a．(－∞，－2) b．[－2,0)
c．(－2,0) d．[0,2]
答案 (1)a (2)c
解析 (1)原不等式等價於(x－1)(2x＋1)<0或x－1＝0，即－所以不等式的解集為(－，1]，選a.
(2)p∧q為真命題，等價於p，q均為真命題．命題p為真時，m<0；命題q為真時，δ＝m2－4<0，解得－2熱點二基本不等式的應用
例2 (1)(2014·湖北)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量f(單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：
公尺/秒)、平均車長l(單位：公尺)的值有關，其公式為f＝.
①如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/時；
②如果限定車型，l＝5，則最大車流量比①中的最大車流量增加________輛/時．
(2)(2013·山東)設正實數x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最大值時，＋－的最大值為( )
a．0 b．1 c. d．3
思維啟迪 (1)把所給l值代入，分子分母同除以v，構造基本不等式的形式求最值；(2)關鍵是尋找取得最大值時的條件．
答案 (1)①1 900 ②100 (2)b
解析 (1)①當l＝6.05時，f＝
＝≤＝＝1 900.
當且僅當v＝11 公尺/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時．
②當l＝5時，f＝＝≤＝＝2 000.
當且僅當v＝10 公尺/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時．比①中的最大車流量增加100 輛/時．
(2)由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)
則＝＝≤1，當且僅當x＝2y時取等號，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，
所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1，
所以當y＝1時，＋－的最大值為1.
思維昇華在利用基本不等式求最值時，要特別注意「拆、拼、湊」等技巧，使其滿足基本不等式中「正」(即條件要求中字母為正數)、「定」(不等式的另一邊必須為定值)、「等」(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤．
(1)若點a(m，n)在第一象限，且在直線＋＝1上，則mn的最大值為________．
(2)已知關於x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恆成立，則實數a的最小值為( )
a．1 b. c．2 d.
答案 (1)3 (2)b
解析 (1)因為點a(m，n)在第一象限，且在直線＋＝1上，所以m，n>0，且＋＝1.
所以·≤()2(當且僅當＝＝，即m＝，n＝2時，取等號)．所以·≤，即mn≤3，
所以mn的最大值為3.
(2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a
≥2·＋2a＝4＋2a，
由題意可知4＋2a≥7，得a≥，
即實數a的最小值為，故選b.
熱點三簡單的線性規劃問題
例3 (2013·湖北)某旅行社租用a、b兩種型號的客車安排900名客人旅行，a、b兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數不超過21輛，且b型車不多於a型車7輛．則租金最少為( )
a．31 200元 b．36 000元
c．36 800元 d．38 400元
思維啟迪通過設變數將實際問題轉化為線性規劃問題．
答案 c
解析設租a型車x輛，b型車y輛時租金為z元，
則z＝1 600x＋2 400y, x、y滿足
畫出可行域如圖
直線y＝－x＋過點a(5,12)時縱截距最小，
所以zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，
故租金最少為36 800元．
思維昇華 (1)線性規劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區域面積；三是確定目標函式中的字母係數的取值範圍．(2)解決線性規劃問題首先要找到可行域，再注意目標函式所表示的幾何意義，利用數形結合找到目標函式的最優解．(3)對於應用問題，要準確地設出變數，確定可行域和目標函式．
(1)已知實數x，y滿足約束條件，則w＝的最小值是( )
a．－2 b．2 c．－1 d．1
(2)(2013·北京)設關於x、y的不等式組表示的平面區域內存在點p(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，求得m的取值範圍是( )
a. b.
c. d.
答案 (1)d (2)c
解析 (1)畫出可行域，如圖所示．
w＝表示可行域內的點(x，y)與定點p(0，－1)連線的斜率，觀察圖形可知pa的斜率最小為＝1，故選d.
(2)當m≥0時，若平面區域存在，則平面區域內的點在第二象限，平面區域內不可能存在點p(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，因此m<0.
如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區域．
要使可行域內包含y＝x－1上的點，只需可行域邊界點
(－m，m)在直線y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.
1．幾類不等式的解法
一元二次不等式解集的端點值是相應一元二次方程的根，也是相應的二次函式圖象與x軸交點的橫座標，即二次函式的零點；分式不等式可轉化為整式不等式(組)來解；以函式為背景的不等式可利用函式的單調性進行轉化．
2．基本不等式的作用
二元基本不等式具有將「積式」轉化為「和式」或將「和式」轉化為「積式」的放縮功能，常常用於比較數(式)的大小或證明不等式或求函式的最值或解決不等式恆成立問題．解決問題的關鍵是弄清分式代數式、函式解析式、不等式的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點，並創造基本不等式的應用背景，如通過「代換」、「拆項」、「湊項」等技巧，改變原式的結構使其具備基本不等式的應用條件．利用基本不等式求最值時要注意「一正、二定、三相等」的條件，三個條件缺一不可．
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