1．如圖，在四稜錐e－abcd中，ea⊥平面abcd，ab∥cd，ad＝bc＝ab，∠abc＝.
(1)求證：△bce為直角三角形；
(2)若ae＝ab，求ce與平面ade所成角的正弦值．
(1)證明在△abc中，ab＝2bc，∠abc＝，
由餘弦定理得ac2＝ab2＋bc2－2ab·bc·cos＝3bc2，∴ac＝bc，∴ac2＋bc2＝ab2，∴ac⊥bc.
又∵ea⊥平面abcd，∴ea⊥bc，
又∵ac∩ae＝a，∴bc⊥平面ace，
∴bc⊥ce.∴△bce為直角三角形．
(2)解由(1)知：ac⊥bc，ae⊥平面abcd，
以點c為座標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，
建立空間直角座標系c－xyz.
設bc＝a，則ae＝ab＝2a，ac＝a，
如圖2，在等腰梯形abcd中，過點c作cg⊥ab於g，則gb＝a，∴cd＝ab－2gb＝a，
過點d作dh⊥bc於h，由(1)知，∠dch＝60°，
∴dh＝，ch＝，
∴d.又c(0,0,0)，a(a,0,0)，
b(0，a,0)，e(a,0,2a)，
∴＝，＝(0,0,2a)，
＝(a,0,2a)，
設平面ade的乙個法向量為n＝(x0，y0，z0)，則得
令x0＝，則y0＝－3，∴n＝(，－3,0)．
設ce與平面ade所成角為θ，則
sin θ＝|cos 〈·n〉|＝＝＝.
∴直線ce與平面ade所成角的正弦值為.
2．平行四邊形abcd中，ab＝1，ad＝，且∠bad＝45°，以bd為折線，把△abd折起，使平面abd⊥平面bcd，連線ac.
(1)求證：ab⊥dc；
(2)求二面角b－ac－d的大小．
(1)證明在△abd中，bd2＝ab2＋ad2－2ab·adcos 45°＝1，∴bd＝1，∴ab⊥bd，
又∵平面abd⊥平面bdc，平面abd∩平面bdc＝bd，
∴ab⊥平面bdc，又dc平面bdc，
∴ab⊥dc.
(2)解在四面體abcd中，以d為原點，db為x軸，dc為y軸，過d垂直於平面bdc的直線為z軸，建立如圖空間直角座標系，則d(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，a(1,0,1)
設平面abc的法向量為n＝(x，y，z)，而＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)，由得
取n＝(1,1,0)，
再設平面dac的法向量為m＝(x，y，z)，而＝(1,0,1)，＝(0,1,0)，
由，得，取m＝(1,0，－1)，
所以cos 〈n，m〉＝＝，
所以二面角b－ac－d的大小是60°.
3.如圖，在多面體abcdef中，abcd為正方形，ed⊥平面abcd，fb∥ed，且ad＝de＝2bf＝2.
(1)求證：ac⊥ef；
(2)求二面角c－ef－d的大小；
(3)設g為cd上一動點，試確定g的位置使得bg∥平面cef，並證明你的結論．
(1)證明連線bd，∵fb∥ed，∴f，b，e，d共面，
∵ed⊥平面abcd，ac平面abcd，∴ed⊥ac，又abcd為正方形，∴bd⊥ac，而ed∩db＝d，∴ac⊥平面dbfe，而ef平面dbfe，∴ac⊥ef.
(2)解如圖建立空間直角座標系．
則a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，f(2,2,1)，e(0,0,2)，由(1)知為平面dbfe的法向量，即＝(－2,2,0)，
又＝(0，－2,2)，＝(2,0,1)
設平面cef的法向量為n＝(x，y，z)，
則有即取z＝1，則x＝－，y＝1，∴n＝
則cos 〈n，〉＝＝＝，
又平面cef與平面dbfe的二面角為銳角，所以θ＝.
(3)解設g(0，y0,0)，則＝(－2，y0－2,0)，由題意知⊥n，
∴·n＝0，即(－2，y0－2,0)·＝0，
解得y0＝1，∴g點座標為(0,1,0)，
即當g為cd的中點時，bg∥平面cef.
4．如圖，正方形aa1d1d與矩形abcd所在平面互相垂直，ab＝2ad＝2.
(1)若點e為ab的中點，求證：
bd1∥平面a1de；
(2)**段ab上是否存在點e，使二面角d1－ec－d的大小為？若存在，求出ae的長；若不存在，請說明理由．
解 (1)四邊形add1a1為正方形，連線ad1，a1d∩ad1＝f，則f是ad1的中點，又因為點e為ab的中點，連線ef，則ef為△abd1的中位線，所以ef∥bd1.
又因為bd1平面a1de，ef平面a1de，
所以bd1∥平面a1de.
(2)根據題意得dd1⊥平面abcd，以d為座標原點，以da，dc，dd1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角座標系，則d(0,0,0)，a1(1,0,1)，d1(0,0,1)，c(0,2,0)．
設滿足條件的點e存在，
令e(1，y0,0)(0≤y0≤2)，
＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)，
設n1＝(x1，y1，z1)是平面d1ec的法向量，
則得令y1＝1，則平面d1ec的法向量為n1＝(2－y0,1,2)，由題知平面dec的乙個法向量n2＝(0,0,1)．
由二面角d1－ec－d的大小為得
cos＝＝＝，
解得y0＝2－∈[0,2]，
所以當ae＝2－時，二面角d1－ec－d的大小為.
2019高考數學理二輪專題突破 3 3推理與證明
高考考情解讀 1.高考主要考查對合情推理和演繹推理的理解及應用 直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數學命題的方法，常與函式 數列 不等式 解析幾何等綜合命題 數學歸納法是證明與正整數有關的數學命題的正確性的一種嚴格的推理方法 考查 歸納 猜想 證明 的模式，常與數列結合考查.2.歸納推理和模...
專題複數 2023年高考數學 理 二輪專項複習
專題複數 本章內容主要是複數的概念 複數的運算 引入虛數，這是中學階段對數集的最終擴充 需要掌握複數的概念 弄清實數與複數的關係，掌握複數代數形式的運算 包括加 減 乘 除 了解復數的幾何表示 由於向量已經單獨學習，因此複數的向量形式與三角形式就不作要求，主要解決代數形式 知識要點 1 複數的概念中...
2023年高考數學 理 二輪複習專題提公升訓練1練習卷
一 選擇題 1 同時滿足兩個條件 定義域內是減函式 定義域內是奇函式的函式是 a f x x x b f x x3 c f x sin x d f x 2 設函式f x 若f a f 1 2，則a等於 a 3 b 3 c 1 d 1 3 函式f x log2 x g x x2 2，則f x g x ...