專題八理科選考部分
第1講幾何證明選講
一、填空題
1．(2011·江蘇)如圖，圓o1與圓o2內切於點a，其半徑分別為
r1與r2(r1＞r2)．
圓o1的弦ab交圓o2於點c(o1不在ab上)．
求證：ab∶ac為定值．
證明連線ao1，並延長分別交兩圓於點e和點d.連線bd，ce.因為圓o1與圓o2內切於點a，所以點o2在ad上．故ad，ae分別為圓o1，圓o2的直徑．
從而∠abd＝∠ace＝.
所以bd∥ce，於是＝＝＝.
所以ab∶ac為定值．
2．如圖，已知圓上的弧，過c點的圓的切線與ba的延長線交於e點，證明：
(1)∠ace＝∠bcd；
(2)bc2＝be·cd.
證明 (1)因為，所以∠abc＝∠bcd.
又因為ec與圓相切於點c，故∠ace＝∠abc，
所以∠ace＝∠bcd.
(2)因為∠ecb＝∠cdb，∠ebc＝∠bcd，
所以△bdc∽△ecb，
故＝，即bc2＝be·cd.
3．(2013·遼寧)如圖，ab為⊙o的直徑，直線cd與⊙o相切於e，ad垂直cd於d，bc垂直cd於c，ef垂直ab於f，連線ae，be.
證明：(1)∠feb＝∠ceb；
(2)ef2＝ad·bc.
證明 (1)由直線cd與⊙o相切，
得∠ceb＝∠eab.
由ab為⊙o的直徑，得ae⊥eb，從而∠eab＋∠ebf＝；又ef⊥ab，得∠feb＋∠ebf＝.
從而∠feb＝∠eab.故∠feb＝∠ceb.
(2)由bc⊥ce，ef⊥ab，∠feb＝∠ceb，be是公共邊，
得rt△bce≌rt△bfe，所以bc＝bf.
同理可證rt△ade≌rt△afe，得ad＝af.
又在rt△aeb中，ef⊥ab，故ef2＝af·bf，
所以ef2＝ad·bc.
4．(2013·新課標全國卷ⅰ)如圖，直線ab為圓的切線，
切點為b，點c在圓上，∠abc的角平分線be交
圓於點e，db垂直be交圓於點d.
(1)證明：db＝dc；
(2)設圓的半徑為1，bc＝，延長ce交ab於點f，求△bcf外接圓的半徑．
(1)證明如圖，連線de，交bc於點g.
由弦切角定理，得∠abe＝∠bce，
而∠abe＝∠cbe，故∠cbe＝∠bce，所以be＝ce.
又因為db⊥be，所以de為圓的直徑，∠dce＝90°.
由勾股定理可得db＝dc.
(2)解由(1)知，∠cde＝∠bde，db＝dc，
故dg是bc邊的中垂線，所以bg＝.
設de的中點為o，連線bo，則∠bog＝60°，從而∠abe＝∠bce＝∠cbe＝30°，
所以cf⊥bf，故rt△bcf外接圓的半徑為.
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