【高考考情解讀】 1.高考主要考查對合情推理和演繹推理的理解及應用；直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數學命題的方法，常與函式、數列、不等式、解析幾何等綜合命題．數學歸納法是證明與正整數有關的數學命題的正確性的一種嚴格的推理方法．考查「歸納—猜想—證明」的模式，常與數列結合考查.2.
歸納推理和模擬推理等主要是和數列、不等式等內容聯合考查，多以選擇題和填空題的形式出現，難度中等；而考查證明問題的知識面廣，涉及知識點多，題目難度較大，主要考查邏輯推理能力、歸納能力和綜合能力，難度較大．
1． 合情推理
(1)歸納推理
①歸納推理是由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的所有物件具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理．
②歸納推理的思維過程如下：
→→(2)模擬推理
①模擬推理是由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理．
②模擬推理的思維過程如下：
→→2． 演繹推理
(1)「三段論」是演繹推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般性原理．
②小前提——所研究的特殊情況．
③結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷．
(2)合情推理與演繹推理的區別
歸納和模擬是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理；模擬是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確．
3． 直接證明
(1)綜合法[**:中#國教#育出#版網]
用p表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，q表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為
→→→…→
(2)分析法
用q表示要證明的結論，則分析法可用框圖表示為
→→→…→
4． 間接證明
反證法的證明過程可以概括為「否定——推理——否定」，即從否定結論開始，經過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)的過程．用反證法證明命題「若p則q」的過程可以用如圖所示的框圖表示．
5． 數學歸納法
數學歸納法證明的步驟
(1)證明當n取第乙個值n0(n0∈n*)時結論成立．
(2)假設n＝k(k∈n*，且k≥n0)時結論成立，證明n＝k＋1時結論也成立．
由(1)(2)可知，對任意n≥n0，且n∈n*時，結論都成立．
考點一歸納推理
例1 (2013·湖北)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數1,3,6,10，…，第n個三角形數為＝n2＋n，記第n個k邊形數為n(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表示式：
三角形數 n(n,3)＝n2＋n，
正方形數n(n,4)＝n2，[**:中教網]
五邊形數n(n,5)＝n2－n，
六邊形數n(n,6)＝2n2－n
可以推測n(n，k)的表示式，由此計算n(10,24
答案 1 000
解析由n(n,4)＝n2，n(n,6)＝2n2－n，…，可以推測：
當k為偶數時，n(n，k)＝n2＋n，
∴n(10,24)＝×100＋×10
＝1 100－100＝1 000.
歸納推理的一般步驟是：(1)通過觀察個別事物發現某些相同的性質；(2)從已知的相同性質中推出乙個明確表述的一般性命題．並且在一般情況下，如果歸納的個別事物越多，越具有代表性，那麼推廣的一般性結論也就越可靠．
(1)在數列中，若a1＝2，a2＝6，且當n∈n*時，an＋2是an·an＋1的個位數字，則a2 014等於
a．2b．4c．6d．8
答案 a
解析由a1＝2，a2＝6，
得a3＝2，a4＝2，a5＝4，a6＝8，a7＝2，a8＝6，…，
據此週期為6，
又2 014＝6×335＋4，
所以a2 014＝a4＝2，故答案選a.
(2)如圖所示：有三根針和套在一根針上的n個金屬片，按下列規則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．
[**:中教網]
a．每次只能移動乙個金屬片；
b．在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．將n個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數記為f(n)．
則①f(3f(n
答案 ①7 ②2n－1
解析 ①f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝2f(2)＋1＝7.
②先把上面的n－1個金屬片移到2號針，
需要f(n－1)次，然後把最下面的乙個金屬片移到3號針，
需要1次，再把2號針上的n－1個金屬片移到3號針，
需要f(n－1)次，所以f(n)＝2f(n－1)＋1，
得f(n)＋1＝2[f(n－1)＋1]，
故數列是以2為首項，公比為2的等比數列，
所以f(n)＋1＝2n，於是f(n)＝2n－1.
考點二模擬推理
例2 (1)在平面幾何中有如下結論：若正三角形abc的內切圓面積為s1，外接圓面積為s2，則＝.推廣到空間幾何可以得到類似結論：
若正四面體abcd的內切球體積為v1，外接球體積為v2，則
(2)橢圓與雙曲線有許多優美的對偶性質，如對於橢圓有如下命題：ab是橢圓＋＝1(a>b>0)的不平行於對稱軸且不過原點的弦，m為ab的中點，則kom·kab＝－.那麼對於雙曲線則有如下命題：
ab是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的不平行於對稱軸且不過原點的弦，m為ab的中點，則kom·kab
答案 (1) (2)
解析 (1)本題考查模擬推理，也即是由特殊到特殊的推理．平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以＝.
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，
則有將a，b代入雙曲線－＝1中得[**:中|教|網z|z|s|tep]
－＝1，－＝1，
兩式相減得＝，
即＝，即＝，
即kom·kab＝.
模擬推理是合情推理中的一類重要推理，強調的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產生模擬遷移的客觀因素，模擬可以由概念性質上的相似性引起，如等差數列與等比數列的模擬；也可以由解題方法上的類似引起，當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的模擬，本題即屬於此類．一般來說，高考中的模擬問題多發生在橫向與縱向模擬上，如圓錐曲線中橢圓與雙曲線等的橫向模擬以及平面與空間中三角形與三稜錐的縱向模擬等．
(1)若數列是等差數列，bn＝，則數列也為等差數列．模擬這一性質可知，若正項數列是等比數列，且也是等比數列，則dn的表示式應為
a．dnb．dn＝
c．dnd．dn＝
(2)命題p：已知橢圓＋＝1(a>b>0)，f1、f2是橢圓的兩個焦點，p為橢圓上的乙個動點，過f2作∠f1pf2的外角平分線的垂線，垂足為m，則om的長為定值．模擬此命題，在雙曲線中也有命題q：已知雙曲線－＝1(a>b>0)，f1、f2是雙曲線的兩個焦點，p為雙曲線上的乙個動點，過f2作∠f1pf2的________的垂線，垂足為m，則om的長為定值________．
答案 (1)d (2)內角平分線 a
解析 (1)由為等差數列，設公差為d，
則bn＝＝a1＋d，
又正項數列為等比數列，設公比為q，
則dn＝＝＝c1q，故選d.
(2)對於橢圓，延長f2m與f1p的延長線交於q.
由對稱性知，m為f2q的中點，且pf2＝pq，
從而om∥f1q且om＝f1q.
而f1q＝f1p＋pq＝f1p＋pf2＝2a，所以om＝a.
對於雙曲線，過f2作∠f1pf2內角平分線的垂線，垂足為m，[**
模擬可得om＝a.
因為om＝f1q＝(pf1－pf2)＝·2a＝a.
考點三直接證明與間接證明
例3 已知數列滿足：a1＝，＝，anan＋1<0 (n≥1)；數列滿足：bn＝a－a (n≥1)．
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