(1)歸納推理的一般步驟：
①通過觀察某些個別情況發現某些相同性質；
②從已知的相同性質中推出乙個明確表述的一般性命題(猜想)．
(2)模擬推理的一般步驟：
①找出兩類事物之間的相似性或一致性；
②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出乙個明確的命題(猜想)．
(3)綜合法的特點是：從「已知」看「可知」，逐步推向「未知」，要求逐步推理，實際上是尋找它的必要條件．
(4)分析法的特點是：從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」，即從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後，即把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件為止．
(5)適合用反證法證明的四類數學命題：
①唯一性命題；
②結論涉及「至多」「至少」「無限」的命題；
③否定性命題；
④直接證明較繁瑣或困難的命題．
(理)(6)數學歸納法
數學歸納法證明的步驟
①證明當n取第乙個值n0(n0∈n*)時結論成立；
②假設n＝k(k∈n*，且k≥n0)時結論成立，證明n＝k＋1時結論也成立．
由①②可知，對任意n≥n0，且n∈n*時，結論都成立．
[小題訓練]
1． 設s，t是r的兩個非空子集，如果存在乙個從s到t的函式y＝f(x)滿足：(1)t＝；(2)對任意x1，x2∈s，當x1①a＝n*，b＝n；
②a＝，b＝是首項為0的遞增數列，n∈n*，fn(x)＝，x∈[an，an＋1]，滿足：對於任意的b∈[0,1)，fn(x)＝b總有兩個不同的根，則的通項公式為________．
(2)若p0(x0，y0)在橢圓＋＝1(a>b>0)外，則過p0作橢圓的兩條切線的切點為p1，p2，則切點弦p1p2所在直線方程是＋＝1.那麼對於雙曲線則有如下命題：若p0(x0，y0)在雙曲線－＝1(a>0，b>0)外，則過p0作雙曲線的兩條切線的切點為p1，p2，則切點弦p1p2所在的直線方程是________．
變式訓練1 (1)若從點o所作的兩條射線om、on上分別有點m1、
m2與點n1、n2，則三角形面積之比＝·.如圖，
若從點o所作的不在同一平面內的三條射線op、oq和or上分
別有點p1、p2，點q1、q2和點r1、r2，則類似的結論為______．
題型二直接證明與間接證明
例2 設實數數列的前n項和sn滿足sn＋1＝an＋1sn (n∈n*)．
(1)若a1，s2，－2a2成等比數列，求s2和a3；
(2)求證：對k≥3有0≤ak＋1≤ak≤.
變式訓練2 設是公比為q的等比數列．
(1)推導的前n項和公式；
(2)設q≠1，證明：數列不是等比數列．
題型三數學歸納法
例3 已知數列滿足關係式an＋1＝＋2，n∈n*，且a1＝2.
(1)求a2，a3，a4；
(2)求證：＋1≤an<＋1；
(3)求證：－1<＋＋…＋<2(－)．
變式訓練3 已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈n*.
(1)當n＝1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大小關係；
(2)猜想f(n)與g(n)的大小關係，並給出證明．
典例 (1)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10
(2)記等差數列的前n項和為sn，利用倒序求和的方法，可將sn表示成首項a1、末項an與項數n的乙個關係式，即公式sn＝；類似地，記等比數列的前n項積為tn，且bn>0 (n∈n*)，試模擬等差數列求和的方法，可將tn表示成首項b1、末項bn與項數n的乙個關係式，即公式tn
專題限時規範訓練
一、填空題
1．觀察下列等式
1＝12＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……照此規律，第n個等式為
2． 觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，則72 014的末兩位數字為________．
3． 定義一種運算「*」：對於自然數n滿足以下運算性質：
(ⅰ)1*1=1,(ⅱ)(n+1)*1=n*1+1,則n*1= .
4． 已知函式f(x)＝，若sk－1＝f＋f＋f＋…＋f (k≥2，k∈z)，模擬等差數列求和公式的推導方法，可求得sk－1用含有k的代數式表示)
5． 二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)s＝πr2，觀察發現s′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)s＝4πr2，三維測度(體積)v＝πr3，觀察發現v′＝s.則四維空間中「超球」的四維測度w＝2πr4，猜想其三維測度v
6． 若數列的通項公式an＝，記f(n)＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n
7． 函式f(x)的定義域為a，若x1，x2∈a，且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函式．例如f(x)＝2x＋1 (x∈r)是單函式，下列命題：①函式f(x)＝x2 (x∈r)是單函式；②指數函式f(x)＝2x (x∈r)是單函式，③若f(x)為單函式，x1，x2∈a且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；④在定義域上具有單調性的函式一定是單函式．
其中的真命題是寫出所有真命題的編號)
8． 已知數列依它的前10項的規律，這個數列的第2 013項a2 013
9． 給出若干數字按如圖所示排成倒三角形，其中第一行各數依次是1,2,3，…，2 011，從第二行起每個數分別等於上一行左、右兩數之和，最後一行只有乙個數m，則這個數m是________．
10．設a，b，c，d∈r＋，若a＋d＝b＋c且|a－d|<|b－c|，則有ad，bc的大小關係是________．
11．已知a>b>0，且ab＝1，若012．已知定義在r上的函式f(x)，g(x)滿足＝ax，且f′(x)g(x)
二、解答題
13．某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等於同乙個常數：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)試從上述五個式子中選擇乙個，求出這個常數；
(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，並證明你的結論．
14．設集合w是滿足下列兩個條件的無窮數列的集合．
①≤an＋1；②an≤m，其中n∈n*，m是與n無關的常數．
(1)若是等差數列，sn是其前n項的和，a3＝4，s3＝18，試**與集合w之間的關係；
(2)若數列的通項為bn＝5n－2n，且∈w，m的最小值為m，求m的值；
第三講推理與證明 教師版
1.合情推理包括和 歸納推理 從個別事實中推演出 模擬推理 根據兩個 或兩類 物件之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其它方面也或 2.演繹推理 三段論 例1.已知 通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題 解 一般形式 將一般形式寫成 等均正確。變式訓練1 觀察式子 則可歸納出式子為 a...
第三講證明及其構成要素
教學目的和要求 1 掌握證明的概念和特徵 2 掌握證明制度的構成要素 3 了解證明的種類和證明方法的進化 教學內容 一 證明的概念和特徵 二 證明的種類和功能 三 證明制度的構成要素 四 司法證明方法的進化 複習思考題 1 什麼是證明？它有哪些特徵？2 證明制度的構成要素有哪些？3 簡述司法證明方法...
推理與證明學案
2.1.1合情推理 一 歸納推理 了解合情推理的含義，能利用歸納推理進行簡單的推理，了解並體會合情推理在數學發現中的作用。1.推理 根據乙個或幾個事實 或假設 得出乙個判斷,這種思維方式叫推理.從結構上說,推理一般由兩部分組成,一部分是已知的事實 或假設 叫做前提,一部分是由已知推出的判斷,叫結論....