自主學習導引
真題感悟
1．(2012·江西)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5
＋b5＝11，…，則a10＋b10＝
a．28b．76c．123d．199
解析觀察規律，歸納推理．
從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，後乙個式子的右端值等於它前面兩個式子右端值的和，照此規律，則a10＋b10＝123.
答案 c
2．(2012·福建)某地區規劃道路建設，考慮道路鋪設方案．方案設計圖中，點表
示城市，兩點之間連線表示兩城市間可鋪設道路，連線上資料表示兩城市間鋪設道路的費用，要求從任一城市都能到達其餘各城市，並且鋪設道路的總費用最小．例如：在三個城市道路設計中，若城市間可鋪設道路的線路圖如圖(1)，則最優設計方案如圖(2)，此時鋪設道路的最小總費用為10.
現給出該地區可鋪設道路的線路圖如圖(3)，則鋪設道路的最小總費用為________．
解析根據題目中圖(3)給出的資訊及題意，要求的是鋪設道路的最小總費用，且從任一城市都能到達其餘各城市，可將圖(3)調整為如圖所示的結構(線段下方的數字為兩城市之間鋪設道路的費用)．
此時鋪設道路的總費用為2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.
答案16
考題分析
具備一定的推理與證明能力是高考的一項基本要求．歸納推理是高考考查的熱
點，這類題目具有很好的區分度，考查形式一般為選擇題或填空題．
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考點一：合情推理
【例1】(1)(2012·武昌模擬)設f k (x )＝sin 2k x ＋cos 2k x (x ∈r )，利用三角變換，估計
f k (x )在k ＝1,2,3時的取值情況，對k ∈n ＋時推測f k (x )的取值範圍是________(結果
用k 表示)．
(2)在平面幾何裡，有「若△abc 的三邊長分別為a ，b ，c ，內切圓半徑為r ，
則三角形面積為s △abc ＝12
(a ＋b ＋c )r 」，拓展到空間，模擬上述結論，「若四面體abcd 的四個面的面積分別為s 1，s 2，s 3，s 4，內切球的半徑為r ，則四面體的體積為
[審題導引] (1)由f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )的取值範圍觀察規律可得；
(2)注意發現其中的規律總結出共性加以推廣，或將結論模擬到其他方面，得出結論．
[規範解答] (1)當k ＝1，f 1(x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝1.
當k ＝2時，f 2(x )＝sin 4x ＋cos 4x
＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12
sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1，∴f 2(x )∈
12，1. 當k ＝3時，f 3(x )＝sin 6x ＋cos 6x
＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x )
＝1－3sin 2x cos 2x ＝1－34
sin 22x .
∵0≤sin 22x ≤1，∴f 3(x )∈
14，1， 故可推測12
k －1≤f k (x )≤1. (2)三角形的面積模擬為四面體的體積，三角形的邊長模擬為四面體四個面
的面積，內切圓半徑模擬為內切球的半徑．二維圖形中12模擬為三維圖形中的13
，得v 四面體abcd ＝13(s 1＋s 2＋s 3＋s 4)r .故填v 四面體abcd ＝13
(s 1＋s 2＋s 3＋s 4)r . [答案] (1)1
2k －1≤f k (x )≤1 (2)v 四面體abcd ＝13
(s 1＋s 2＋s 3＋s 4)r 【規律總結】
歸納推理與模擬推理之區別
(1)歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理．在進行歸納時，要先根據已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯絡，從而歸納出一般結論．
(2)模擬推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的物件之間的推理，其中乙個物件具有某個性質，則另乙個物件也具有類似的性質．在進行模擬時，要充分考慮已知物件性質的推理過程，然後模擬推導模擬物件的性質．
【變式訓練】
1．若數列(n ∈n ＋)是等差數列，則有通項為b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n
(n ∈n ＋)的數列也為等差數列，模擬上述性質，若數列是等比數列，且c n ＞0，則有通項為d nn ∈n ＋)的數列也是等比數列．
解析 ∵是等比數列，且c n ＞0，
∴是等差數列，令d n ＝n
c 1·c 2·…·c n ，
則lg d n ＝lg c 1＋lg c 2＋…＋lg c n n ， 由題意知為等差數列，
∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n 為等比數列．
答案 n c 1·c 2·…·c n
2．平面內有n 條直線，其中任何兩條都不平行，任何三條不過同一點，試歸納它們的交點個數．
解析 n ＝2時，交點個數：f (2)＝1.
n ＝3時，交點個數：f (3)＝3.
n ＝4時，交點個數：f (4)＝6.
n ＝5時，交點個數：f (5)＝10.
猜想歸納：f (n )＝12
n (n －1)(n ≥2)． 考點二：演繹推理
【例2】求證：a ，b ，c 為正實數的充要條件是a ＋b ＋c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＞0和abc ＞0.
[審題導引] 由a 、b 、c 為正實數，顯然易得a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，即「必要性」的證明用直接法易於完成．證明「充分性」時，要綜合三個不等式推出a 、b 、c 是正實數，有些難度、需用反證法．
[規範解答] (1)證必要性(直接證法)：因為a 、b 、c 為正實數，所以a ＋b ＋c ＞0， ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0.
所以必要性成立．
(2)證充分性(反證法)：假設a 、b 、c 不全為正實數(原結論是a 、b 、c 都是正實數)，由於abc ＞0，則它們只能是二負一正．
不妨設a ＜0，b ＜0，c ＞0，
又由於ab ＋bc ＋ac ＞0a (b ＋c )＋bc ＞0，
因為bc ＜0，所以a (b ＋c )＞0.①
又a ＜0，所以b ＋c ＜0.②
而a ＋b ＋c ＞0，所以a ＋(b ＋c )＞0.
所以a ＞0，與a ＜0的假設矛盾．
故假設不成立，原結論成立，即a 、b 、c 均為正實數．
【規律總結】
1．演繹推理問題的處理方法
從思維過程的指向來看，演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提，而作出關於該類事物的判斷的思維形式，因此是從一般到特殊的推理．數學中的演繹法一般是以三段論的格式進行的．三段論由大前提、小前提和結論三個命題組成，大前提是乙個一般性原理，小前提給出了適合於這個原理的乙個特殊情形，結論則是大前提和小前提的邏輯結果．
2．適用反證法證明的六種題型
反證法是一種重要的間接證明方法，適用反證法證明的題型有：(1)易匯出與已知矛盾的命題；(2)否定性命題；(3)唯一性命題；(4)至少至多型命題；(5)一些基本定理；(6)必然性命題等．
【變式訓練】
3．若定義在區間d 上的函式f (x )對於d 上的n 個值x 1，x 2，…，x n ，總滿足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f
x 1＋x 2＋…＋x n n ，稱函式f (x )為d 上的凸函式．現已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函式，則在△abc 中，sin a ＋sin b ＋sin c 的最大值是________．
解析因為凸函式滿足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f
x 1＋x 2＋…＋x n n ，(大前提)
f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函式，(小前提)
所以f (a )＋f (b )＋f (c )≤3f
a ＋b ＋c 3，(結論) 即sin a ＋sin b ＋sin c ≤3sin π3＝332
. 因此sin a ＋sin b ＋sin c 的最大值是332
. 考點三：數學歸納法
【例3】設數列的前n 項和為s n ，且s 2n －(a n ＋2)s n ＋1＝0,1－s n ＝a n b n (n ∈n ＋)．
(1)求a 1，a 2的值和數列的通項公式；
(2)若正項數列滿足：c n ≤a 1＋(b n －1)a
(n ∈n ＋，0＜a ＜1)，求證：∑n k ＝1 c k k ＋1＜1.
[審題導引] (1)由於s 2n －(a n ＋2)s n ＋1＝0中含有s 2n ，
通過公升降角標的方法無法把s n 轉化為a n ，這樣就需要把a n 轉化為s n －s n －1(n ≥2)，通過探求s n ，然後根據求得的s n 求的通項公式；
(2)根據(1)求得的結果，根據c k k ＋1
的結構確定放縮的方法求證． [規範解答] (1)s 21－(a 1＋2)s 1＋1＝0a 1＝12
， s 22－(a 2＋2)s 2＋1＝0a 2＝16
. s 2n －(a n ＋2)s n ＋1＝0，①
當n ≥2時，a n ＝s n －s n －1，代入①式，得s n s n －1－2s n ＋1＝0，②
又由s 1＝12，s 2＝a 1＋a 2＝23，s 3＝12－s 2＝34
. 猜想s n ＝n n ＋1
. 下面用數學歸納法證明：
①當n ＝1時，顯然成立；
②假設當n ＝k 時，s k ＝k k ＋1，
則n ＝k ＋1時，s k ＋1s k －2s k ＋1＋1＝0，
s k ＋1＝12－k k ＋1
＝k ＋1k ＋1＋1成立． 綜合①②，可知猜想成立．
所以當n ≥2時，a n ＝s n －s n －1＝1n (n ＋1)
，當n ＝1時也滿足， 故a n ＝1n (n ＋1)
(n ∈n ＋)．
(2)證明由(1)，得b n ＝n ，
c n ≤a 1＋(n －1)a ＝11a
＋n －1＜1n ， 則∑n
k ＝1 c k k ＋1＜∑n k ＝1 1k (k ＋1)＝1－1n ＋1＜1. 【規律總結】
使用數學歸納法需要注意的三個問題
在使用數學歸納法時還要明確：
(1)數學歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據，二者缺一不可；
(2)在運用數學歸納法時，要注意起點n ，並非一定取1，也可能取0,2等值，要看清題目；
(3)第二步證明的關鍵是要運用歸納假設，特別要弄清楚由k 到k ＋1時命題變化的情況．
【變式訓練】
4．(2012·青島二模)已知集合a ＝，b ＝，設s n 是等差數列的前n 項和，若的任一項a n ∈a ∩b 且首項a 1是a ∩b 中的最大數，－750＜s 10＜－300.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足b n
＝1392n a n +-
令t n ＝24(b 2＋b 4＋b 6＋…b 2n )，試比較t n
與48n 2n ＋1
的大小． 解析 (1)根據題設可得：集合a 中所有的元素可以組成以－3為首項，－2為公差的遞減等差數列；集合b 中所有的元素可以組成以－3為首項，－6為公差的遞減等差數列．
由此可得，對任意的n ∈n ＋，有a ∩b ＝b ，
a ∩b 中的最大數為－3，即a 1＝－3，
設等差數列的公差為d ，則a n ＝－3＋(n －1)d ，
s 10＝10(a 1＋a 10)2
＝45d －30， ∵－750＜s 10＜－300，
∴－750＜45d －30＜－300，
即－16＜d ＜－6，
由於b 中所有的元素可以組成以－3為首項，－6為公差的遞減等差數列， 所以d ＝－6m (m ∈z ，m ≠0)，
由－16＜－6m ＜－6m ＝2，
所以d ＝－12，
所以數列的通項公式為a n ＝9－12n (n ∈n ＋)．
(2)b n
＝1392n a n +- ＝
22n ， t n ＝24(b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n )＝24×121－ 12n 1－12
＝24 1－12n ，
t n －48n 2n ＋1＝24－242n －48n 2n ＋1＝24(2n －2n －1)2n (2n ＋1)， 於是確定t n 與48n 2n ＋1
的大小關係等價於比較2n 與2n ＋1的大小， 由2＜2×1＋1,22＜2×2＋1,23＞2×3＋1,24＞2×4＋1，…
可猜想當n ≥3時，2n ＞2n ＋1，證明如下：
證法一 ①當n ＝3時，由上驗算可知成立．
②假設n ＝k 時，2k ＞2k ＋1，
則2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1，
所以當n ＝k ＋1時猜想也成立．
根據①②可知，對一切n ≥3的正整數，
都有2n ＞2n ＋1，
∴當n ＝1,2時，t n ＜48n 2n ＋1，當n ≥3時，t n ＞48n 2n ＋1
. 證法二當n ≥3時，
2n ＝(1＋1)n ＝c 0n ＋c 1n ＋…＋c n －1n ＋c n n
≥c 0n ＋c 1n ＋c n －1n ＋c n n ＝2n ＋2＞2n ＋1，
∴當n ＝1,2時，t n ＜48n 2n ＋1
， 當n ≥3時，t n ＞48n 2n ＋1
. 名師押題高考
【押題1】 已知「整數對」按如下規律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個整數對是
a ．(7,5)
b ．(5,7)
c ．(2,10)
d ．(10,1)
解析依題意，就每組整數對的和相同的分為一組，不難得知每組整數對的
和為n ＋1，且每組共有n 個整數對，這樣的前n 組一共有n (n ＋1)2
個整數對，注意到10(10＋1)2＜60＜11(11＋1)2
，因此第60個整數對處於第11組(每對整數對的和為12的組)的第5個位置，結合題意可知每對整數對的和為12的組中的各對數依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…
因此第60個整數對是(5,7)．故選b.
答案 b
[押題依據] 能用歸納和模擬進行簡單的推理是高考對合情推理的基本要求．相比較而言，歸納推理是高考的乙個熱點．本題體現了歸納對推理的思想，需從所給的數對中總結歸納出其規律，進而推導出第60個整數對．題目不難，體現了高考的熱點，故押此題．
押題2】已知命題：「若數列為等差數列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ＜n ，m ，
n ∈n ＋)，則a m ＋n ＝b ·n －a ·m n －m
.」現已知數列(b n ＞0，n ∈n ＋)為等比數列，且b m ＝a ，b n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈n ＋)，若模擬上述結論，則可得到b m ＋n
解析由題意模擬可得b m ＋n ＝n
n m b a a -
.答案 n n m b a a -
[押題依據] 歸納和模擬是兩種重要的思維形式，是高考的熱點，通常以選擇題或填空題的形式考查．本題以數列知識為背景，考查模擬推理，題目不難，但具有較好的代表性，故押此題．
專題四第3講推理與證明
2015屆高三直公升班第二輪複習專題四數列 推理與證明 第2講推理與證明 知識主幹 1 合情推理 1 歸納推理 歸納推理是由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件都具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理 歸納推理的思維過程如下 2 模擬推理 模擬推理是由兩類物件具有某...
第19講推理與證明
課堂練習答案 1 解析 本題屬於模擬推理的應用，把線段上的向量關係先模擬到平面，再模擬到空間 把線段長模擬到平面的三角形面積，到空間對應的是四面體的體積，故結論應是vobcd cd bd bc 0.2 答案 25 2n 1 2 3 2 n2 解析 因為am 5，而an n2，所以m 1,2，所以 a...
第5講推理與證明
基礎鞏固題組 建議用時 40分鐘 一 選擇題 1 觀察 x2 2x，x4 4x3，cos x sin x，由歸納推理得 若定義在r上的函式f x 滿足f x f x 記g x 為f x 的導函式，則g x a f x b f x c g x d g x 解析由已知得偶函式的導函式為奇函式，故g x ...