基礎鞏固題組
(建議用時：40分鐘
一、選擇題
1．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理得：若定義在r上的函式f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函式，則g(－x)＝
( )
a．f(x) b．－f(x)
c．g(x) d．－g(x)
解析由已知得偶函式的導函式為奇函式，故g(－x)＝－g(x)．
答案 d
2．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等於
( )
a．28 b．76 c．123 d．199
解析從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，後乙個式子的右端值等於它前面兩個式子右端值的和，照此規律，則a10＋b10＝123.
答案 c
3．分析法又稱執果索因法，若用分析法證明：「設a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證＜a」索的因應是
( )
a．a－b＞0 b．a－c＞0
c．(a－b)(a－c)＞0 d．(a－b)(a－c)＜0
解析由題意知＜ab2－ac＜3a2
(a＋c)2－ac＜3a2
a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0
－2a2＋ac＋c2＜0
2a2－ac－c2＞0
(a－c)(2a＋c)＞0(a－c)(a－b)＞0.
答案 c
4．某個命題與正整數有關，如果當n＝k(k∈n*)時該命題成立，那麼可以推出n＝k＋1時該命題也成立．現已知n＝5時該命題成立，那麼
( )
a．n＝4時該命題成立
b．n＝4時該命題不成立
c．n≥5，n∈n*時該命題都成立
d．可能n取某個大於5的整數時該命題不成立
解析顯然a、b錯誤，由數學歸納法原理知c正確，d錯．
答案 c
5．用數學歸納法證明「n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈n*)能被9整除」，利用歸納法假設證明n＝k＋1時，只需展開
( )
a．(k＋3)3 b．(k＋2)3
c．(k＋1)3 d．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析假設n＝k時，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，當n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設，只須將(k＋3)3展開，讓其出現k3即可．故應選a.
答案 a
二、填空題
6．(2015·東北三省三校聯考)觀察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根據上述規律，第n個等式為________．
解析觀察所給等式左右兩邊的構成易得第n個等式為13＋23＋…＋n3＝2＝.
答案 13＋23＋…＋n3＝
7．(2015·九江模擬)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈n*)，經計算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則其一般結論為________．
解析因為f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以當n≥2時，有f(2n)>.故填f(2n)> (n≥2，n∈n*)．
答案 f(2n)> (n≥2，n∈n*)
8．(2014·南昌模擬)觀察下列等式：23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，……，若類似上面各式方法將m3分拆得到的等式右邊最後乙個數是109，則正整數m等於________．
解析依題意，注意到從23到m3(m≥2，m∈n)的分拆中共含有2＋3＋…＋m＝個正整數，且最大的正整數為2×＋1＝(m－1)(m＋2)＋1，且109＝(10－1)×(10＋2)＋1，因此所求的正整數m＝10.
答案 10
三、解答題
9．若a，b，c是不全相等的正數，求證：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
證明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三個不等式中等號不能同時成立．
∴··＞abc成立．
上式兩邊同時取常用對數，
得lg＞lg abc，
∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
10．設數列是公比為q的等比數列，sn是它的前n項和．
(1)求證：數列不是等比數列；
(2)數列是等差數列嗎？為什麼？
(1)證明假設數列是等比數列，則s＝s1s3，
即a (1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因為a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，這與公比q≠0矛盾，
所以數列不是等比數列．
(2)解當q＝1時，sn＝na1，故是等差數列；
當q≠1時，不是等差數列，否則2s2＝s1＋s3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，這與公比q≠0矛盾．
綜上，當q＝1時，數列是等差數列；當q≠1時，數列不是等差數列．
能力提公升題組
(建議用時：35分鐘)
11．平面內有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區域，則f(n)的表示式為
( )
a．n＋1 b．2n
c. d．n2＋n＋1
解析 1條直線將平面分成1＋1個區域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區域；……；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個區域，選c.
答案 c
12．設f(x)是定義在正整數集上的函式，且f(x)滿足：「當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立」．那麼，下列命題總成立的是
( )
a．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立
b．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立
c．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立
d．若f(4)≥16成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立
解析選項a，b的答案與題設中不等號方向不同，故a，b錯；選項c中，應該是k≥3時，均有f(k)≥k2成立；選項d符合題意．
答案 d
13．(2013·湖北卷)在平面直角座標系中，若點p(x，y)的座標x，y均為整數，則稱點p為格點．若乙個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形．格點多邊形的面積記為s，其內部的格點數記為n，邊界上的格點數記為l.例如圖中△abc是格點三角形，對應的s＝1，n＝0，l＝4.
(1)圖中格點四邊形defg對應的s，n，l分別是________；
(2)已知格點多邊形的面積可表示為s＝an＋bl＋c，其中a，b，c為常數．若某格點多邊形對應的n＝71，l＝18，則s用數值作答)．
解析 (1)四邊形defg是乙個直角梯形，觀察圖形可知：s＝(＋2)××＝3，n＝1，l＝6.
(2)由(1)知，s四邊形defg＝a＋6b＋c＝3.
s△abc＝4b＋c＝1.
在平面直角座標系中，取一「田」字型四邊形，構成邊長為2的正方形，該正方形中s＝4，n＝1，l＝8.則s＝a＋8b＋c＝4.聯立解得a＝1，
b＝.c＝－1.
∴s＝n＋l－1，∴若某格點多邊形對應的n＝71，l＝18，則s＝71＋×18－1＝79.
答案 (1)3,1,6 (2)79
14．若函式f(x)＝x2－2x－3，定義數列如下：x1＝2，xn＋1是過點p(4,5)、qn(xn，f(xn))的直線pqn與x軸的交點的橫座標，試運用數學歸納法證明：
2≤xn＜xn＋1<3.
證明 (1)當n＝1時，x1＝2，f(x1)＝－3，q1(2，－3)．
∴直線pq1的方程為y＝4x－11，
令y＝0，得x2＝，
因此，2≤x1＜x2＜3，即n＝1時結論成立．
(2)假設當n＝k時，結論成立，即2≤xk＜xk＋1＜3.
∴直線pqk＋1的方程為y－5＝(x－4)．
又f(xk＋1)＝x－2xk＋1－3，代入上式，令y＝0，
得xk＋2＝＝4－，
由歸納假設，2xk＋2＝4－<4－＝3；
xk＋2－xk＋1＝>0，即xk＋1所以2≤xk＋1由(1)、(2)知對任意的正整數n,2≤xn15．(2014·重慶卷)設a1＝1，an＋1＝＋b(n∈n*)．
(1)若b＝1，求a2，a3及數列的通項公式；
(2)若b＝－1，問：是否存在實數c使得a2n解 (1)法一 a2＝2，a3＝＋1.
再由題設條件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.
從而是首項為0，公差為1的等差數列，
故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈n*)．
法二 a2＝2，a3＝＋1，
可寫為a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.
因此猜想an＝＋1.
下面用數學歸納法證明上式：
當n＝1時結論顯然成立．
假設n＝k時結論成立，即ak＝＋1，則ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.
這就是說，當n＝k＋1時結論成立．綜上可知，
an＝＋1(n∈n*)．
(2)設f(x)＝－1，則an＋1＝f(an)．
令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝.
下面用數學歸納法證明加強命題a2n當n＝1時，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，所以a2<假設n＝k時結論成立，即a2k易知f(x)在(－∞，1]上為減函式，
從而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.
再由f(x)在(－∞，1]上為減函式得c＝f(c)故c這就是說，當n＝k＋1時結論成立．
綜上，符合條件的c存在，其中乙個值為c＝.
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