2015屆高三直公升班第二輪複習專題四數列、推理與證明
第2講推理與證明
知識主幹
1．合情推理
（1）歸納推理
①歸納推理是由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件都具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理．
②歸納推理的思維過程如下：
→→（2）模擬推理
①模擬推理是由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理．
②模擬推理的思維過程如下：
→→2．演繹推理
（1）「三段論」是演繹推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情況；
③結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷．
（2）合情推理與演繹推理的區別
歸納和模擬是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理；模擬是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確．
3．直接證明
（1）綜合法
用p表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，q表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：
→→→…→
（2）分析法
用q表示要證明的結論，則分析法可用框圖表示為：
→→→…→
4．間接證明
反證法的證明過程可以概括為「否定——推理——否定」，即從否定結論開始，經過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定（即肯定原命題）的過程．用反證法證明命題「若p，則q」的過程可以用如圖所示的框圖表示．
→→→5．數學歸納法
數學歸納法證明的步驟：
（1）證明當n取第乙個值n0（n0∈n*）時命題成立．
（2）假設n＝k（k∈n*，且k≥n0）時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立．
由（1）（2）可知，對任意n≥n0，且n∈n*時，命題都成立．
熱點一歸納推理
例1 （1）有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是（ ）
a．26 b．31
c．32 d．36
（2）兩旅客坐火車外出旅遊，希望座位連在一起，且有乙個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是（ ）
a．48,49 b．62,63 c．75,76d．84,85
思維啟迪 （1）根據三個圖案中的正六邊形個數尋求規律；（2）靠視窗的座位號碼能被5整除或者被5除餘1.
答案 （1）b （2）d
解析 （1）有菱形紋的正六邊形個數如下表：
由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數依次組成乙個以6為首項，以5為公差的等差數列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是6＋5×（6－1）＝31.
故選b.
（2）由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除餘1的數和能被5整除的座位號臨窗，由於兩旅客希望座位連在一起，且有乙個靠窗，分析答案中的4組座位號，只有d符合條件．
思維昇華歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然後予以證明，這一數學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題時有著廣泛的應用．其思維模式是「觀察——歸納——猜想——證明」，解題的關鍵在於正確的歸納猜想．
（1）四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號位上（如圖），第一次前後排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，…這樣交替進行下去，那麼第202次互換座位後，小兔坐在第______號座位上．
開始第一次
第二次第三次
a．1 b．2c．3 d．4
（2）已知f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈n*），經計算得f（4）>2，f（8）>，f（16）>3，f（32）>，則有
答案 （1）b （2）f（2n）>（n≥2，n∈n*）
解析 （1）考慮小兔所坐的座位號，第一次坐在1號位上，第二次坐在2號位上，第三次坐在4號位上，第四次坐在3號位上，第五次坐在1號位上，因此小兔的座位數更換次數以4為週期，因為202＝50×4＋2，因此第202次互換後，小兔所在的座位號與小兔第二次互換座位號所在的座位號相同，因此小兔坐在2號位上，故選b.
（2）由題意得f（22）>，f（23）>，f（24）>，
f（25）>，所以當n≥2時，有f（2n）>.
故填f（2n）>（n≥2，n∈n*）．
熱點二模擬推理
例2 （1）在平面幾何中有如下結論：若正三角形abc的內切圓面積為s1，外接圓面積為s2，則＝.推廣到空間幾何可以得到類似結論：
若正四面體abcd的內切球體積為v1，外接球體積為v2，則
（2）已知雙曲正弦函式shx＝和雙曲余弦函式chx＝與我們學過的正弦函式和余弦函式有許多類似的性質，請模擬正弦函式和余弦函式的和角或差角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函式的乙個類似的正確結論________．
專題三第3講推理與證明
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第19講推理與證明
課堂練習答案 1 解析 本題屬於模擬推理的應用，把線段上的向量關係先模擬到平面，再模擬到空間 把線段長模擬到平面的三角形面積，到空間對應的是四面體的體積，故結論應是vobcd cd bd bc 0.2 答案 25 2n 1 2 3 2 n2 解析 因為am 5，而an n2，所以m 1,2，所以 a...
第5講推理與證明
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