關節十圖形變換引出的計算與證明
圖形（或部分圖形）經「平移」、「軸對稱」或「旋轉」（包括中心對稱）之後，就會引起圖形形狀，位置關係的變化，就會出現新的圖形和新的關係。因此，圖形變換引出的問題主要有兩類：一類是變換引出的新的性質和位置關係問題；另一類是變換引出的幾何量的計算問題。
一、圖形平移變換引出的幾何計算與證明
這類問題的解法的思考應當突出兩點：
ⅰ、把背景圖形研究清楚；
ⅱ、充分運用圖形平移的性質，特別應注意的是：「平移變換不改變角度」（即平移中的線和不平移的線，交角的大小不變）。
兩者的恰當結合，就是解法的基礎。
例1 如圖，若將邊長為的兩個互相重合的正方形紙片沿對角線翻摺成等腰直角三角形後，再抽出乙個等腰直角三角形沿移動，若重疊部分的面積是，則移動的距離等於
【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形：和
均為底邊長為的等腰直角三角形；第二，由平移搞
清楚新圖形的特徵：由於平移不改變角度，可知也
是等腰直角三角形，這樣一來，
即。解得而，
。解：填。
【說明】可以看出，由背景和平移的性質相結合得出為等腰直角三角形，是本題迅速獲解之關鍵。
例2 如圖（1），已知的面積為3，且現將沿ca方向平移ca長度得到。
（1）求所掃過的圖形面積；
（2）試判斷，af與be的位置關係，並說明理由；
（3）若求ac的長。 （1）
【觀察與思考】第一，搞清楚原圖形即的特徵：
面積為3，第二，搞清楚平移過程：平移沿ca方向進行；平移距離
為ca的長度。注意！這就意味著每一對對應點之間的距離都等於ca，
當然就有。由此可知：
（1）掃過的圖形即為菱形的兩條對角線；
（2）af和be就是菱形的兩條對角線；
（3）的條件下，由求出ac的長。 （1`）
各問題解法得到，落實如下：
解：（1）如圖（1`）掃過的圖形為菱形，
而。（2）如圖（1`），為菱形的兩條對角線，，並且af，be互相平分。
（3）若則，作於d，如圖（1``），則，
由,解得。 （1``）
【說明】由本題可以看出，原圖形背景和平移性質的結合是解法獲得的基礎。
例3 如圖（1）所示，一張三角形紙片，。沿斜邊ab的中線cd把這線紙片剪成和兩個三角形如圖（2）所示。將紙片沿直線（ab）方向平移（點始終在同一條直線上），當點與點b重合時，停止平移，在平移的過程中，與交於點e，與分別交於點f，p。
（1） （2） （3）
（1）當平移到如圖（3）所示的位置時，猜想圖中與的數量關係，並證明你的猜想。
（2）設平移距離為，與重疊部分的面積為，請寫出與的函式關係式，以及自變數的取值範圍；
（3）對於（2）中的結論是否存在這樣的，使得重疊部分面積等於原紙片面積的？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由。
【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形（即圖（2）所示的平移前的圖形），（略）
第二，搞清楚平移過程：平移不改變角的大小；任意一對對應點的距離都等於圖形平移的距離，按本題要求，平移距離滿足：。
對於問題（1），注意到在圖（3）中有：和都是等腰三角形（由和為等腰三角形演變而來），以及（由圖中（2）的演變而來），相應的猜想及證明都易得到；
對於問題（2），若在圖（3）中作輔助線：作交ab於，
如圖（3`），易知∽∽（圖（1）中）。
（3`）
對於問題（3），由（2）的結果構造相應的方程即可。
解：（1），證明如下：
，又是斜邊ab的中線（原圖（1）
即。同理：
又。（2）作交ab於，如圖（3`），由（1）知
。而∽∽，且它們的斜邊長依次為。
其中。（3）令即，解得
所以存在,使重疊部分的面積為面積的，這時，平移的距離為或5。
【說明】從本題可以看出：
ⅰ、恰當運用平移變換的性質（如角度不變）極為重要，這體現在問題（1）的解法中。
ⅱ、充分而靈活運用平移構成的三角形相似很重要（由角度不變易造成相似），這體現在問題（2）的解法中。
圖形平移的問題，解決的關鍵在於運用好「平移變換」的性質。
二、圖形的軸對稱變換引出的計算與證明
這類問題解決的思考應當突出以下兩點：
ⅰ、把背景圖形研究清楚；
ⅱ、充分注意軸對稱的兩部分全等，對稱軸是任意對稱兩點連線的垂直平分線。
兩者的恰當結合，就是解法的基礎。
圖形的軸對稱問題，解決的關鍵在於運用好「軸對稱變換」的性質！
例1 如圖（1），邊長為1的正方形中，分別為的中點，將點c折至mn上落在點p的位置，摺痕為鏈結。
（1）求的長；
（2）求的長。 （1）
【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形：是正方形一組對邊的中點；
第二，搞清楚軸對稱情況：除正方形外，本題還有兩組軸對稱圖形，一是和關於對稱；二是和關於mn對稱 ，如圖（1`），由此立刻得是邊長為1的等邊三角形。
有了如上的認識，問題的解法已明朗。
解：（1）鏈結易知是等邊三角形，且其邊長為1。 （1`）
。（2）由（1）知又，
。例2 如圖，在中，，點e，f分別在ab，ac上，把沿著ef對折，恰使點a落在bc上點d處，且使。
（1）猜測ae與be的數量關係，並說明理由。
（2）求證：四邊形aedf是菱形。
【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形（略）；
第二，搞清楚這個特殊的「摺疊」（軸對稱）和新圖形的特點：
①（因它們關於ef對稱 ）②。
在中， ，得。這就是問題（1）的結論和理由。
而由，得，又，立刻推知和均是等邊三角形，四邊形aedf當然就是菱形。
【說明】在本題，從背景圖形和特殊摺疊結合而得出的新圖形的性質，成為解法形成的根據。
例3 已知矩形紙片，。將紙片摺疊，使頂點a與邊cd上的點e重合。
（1）如果摺痕fg分別與ad，ab交於點f，g（如圖（1），）求de的長。
（2）如果摺痕fg分別與cd，ab交於點f，g（如圖（2），），的外接圓與直線bc相切，求摺痕fg的長。
（2）（1）【觀察與思考】第一，背景圖形易搞清楚；第二，（1），（2）兩問的摺疊方式有差異。
對於（1）來說，摺痕一ad交於點f，立刻有①；②∽，且，由此即可求得de的長。
對於（2），對應的圖形如圖（2`），可知：①的外接圓的圓心為的中點，則也是fg的中點，且在矩形的中點連線上，而即是過該圓與bc相切切點的半徑；②∽，由此可求得。進而可求得fg的長。
解：在矩形中，， （2`）。。
在中，。
（2）如圖（2`），設ae與fg的交點為，則以為圓心，以oa為半徑的圓就是的外接圓。
若取ad的中點m，鏈結om並延長交cb於點n。易知點n即⊙和cb相切的切點，。
設oa（即⊙的半徑）為，則，
在中，解得。
在和中，
∽即，得。
【說明】正是恰當地將背景圖形和摺疊（軸對稱）的性質結合，使有關問題（1）的數量關係集中於；使有關問題（2）的數量關係集中於和（且它們又是相似的），使兩個問題迅速獲解。
例4 已知：矩形紙片中，ab=26厘公尺，厘公尺，點e在ad上，且厘公尺，點p是ab邊上一動點，按如下操作：
步驟一，摺疊紙片，使點p與點e重合，展開紙片得摺痕（如圖（1）所示）；
步驟二，過點p作交所在的直線於點q，鏈結qe（如圖（2）所示）；
（1）無論點p在ab邊上任何位置，都有pqqe（填號 ）
（2）如圖（3）所示，將矩形紙片放在直角座標系中，按上述步驟
一、二進行操作：
①當點p在a點時，與交於點點的座標是
②當厘公尺時，與交於點，點的座標是
③當厘公尺時，在圖（3）中畫出，（不要求寫畫法）並求出與的交點的座標；
（3）點p在在運動過程中，與形成一系列的交點，…觀察，猜想：眾多的交點形成的圖象是什麼？並直接寫出該圖象的函式表示式。
（1） （2） （3）
【觀察與思考】充分利用是pe的垂直平分線這一基本特徵。
解：（1）
（2）① （0，3）； ② （6，6）；③ 畫圖，如圖（3`），設 （3`）
與ep交於點f。
在中，。∽。
（3）可以多取幾個p點，畫出相應的q點，易發現應在同一條拋物線上，由該拋物線過
點（0，3），（6，6），（12，15），可得其函式關係式為。
由以上諸例的解法可以看出：
圖形軸對稱變換的問題，解決的關鍵就是把軸對稱的性質（對稱的圖形全等及對稱軸是對應點連線的垂直平分線）和背景圖形的特徵恰當結合。
三、圖形的旋轉變換引出的計算與證明
這類問題解決的思考應當遵循以下兩點：
ⅰ、把背景圖形研究清楚；
ⅱ、把圖形旋轉的基本性質：「對應點與旋轉中心連線的夾角都等於旋轉角」和「旋轉前後對應的兩部分是全等的」。始終作為思考的指導。
例1 如圖，將繞點a順時針旋轉60°後，得到，且為bc的中點，則等於（ ）
a、 1：2 b、 c、 d、1：3
【觀察與思考】聯合觀察背景圖形和旋轉後的圖形：
（1）中，（旋轉角），所以，
是等邊三角形；
（2）由恰為bc之中點，知，即中，
為斜邊bc上的中線。將（1），（2）結合，則在中，，進而在中，特別地還有。對圖形有了這些深入而具體的認識，立刻得出：
解：應選d。
【說明】可以看出，從背景，旋轉兩者結合的角度深入研究新構成的圖形，把握其各種隱性的特徵，是迅速，正確地獲得解的關鍵。
例2 將兩個含有銳角的全等直角三角板abc和如圖擺放，兩個直角頂點c重合，ac和在同一條直線上，將三角板abc以點c為旋轉中心，沿順時針方向分別旋轉到達，的位置。分別和相交於點。
求，， 的值。
【觀察與思考】（1）旋轉30°時，對應的圖形如圖（1`），結合
背景圖形和旋轉的特徵，得到中，
解法已清楚。
（2）旋轉45°時，對應的圖形如圖（2`），結合背景圖形和旋轉的特徵，知道：中，，立刻想到應作於借助溝通兩個直角三角形和，解法也明朗了。
（3）旋轉60°時，對應的圖形如圖（3`），結合背景圖形和旋轉的特徵，知道：在中，，得，解法幾乎是顯然的。
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