簡單應用題能力：
1．試證：設a，b，ab均為n階對稱矩陣，則ab =ba．
2．試證：設是n階矩陣，若= 0，則．
3．已知矩陣，且，試證是可逆矩陣，並求.
4. 設階矩陣滿足，，證明是對稱矩陣.
5． 設a，b均為n階對稱矩陣，則ab＋ba也是對稱矩陣．
6．設ak=0,其中a為方陣,k為大於1的某個正整數,證明(e-a)-1=e+a+a2+…+ak-1.
7．若a為非退化矩陣,並且ab=ba,試證： a-1b=ba-1。
8．設a b為n階矩陣，且a為對稱矩陣，證明btab也是對稱矩陣
9．設a b都是n階對稱矩陣，證明ab是對稱矩陣的充分必要條件是abba
10．n階方陣a滿足a2-3a-2e=0，其中a給定，證明a可逆.
11．設a、b均為n階方陣，且a2=a,b2=b，證明(a+b)2=a+b的充分必要條件是ab=ba=0.
12．若a為非退化矩陣,並且ab=ba,試證： a-1b=ba-1。
13．設a是n階方陣，且（a+e）2=0，證明a可逆.
14．設矩陣a可逆，證明（a*）-1=|a-1|a.
參***
1．試證：設a，b，ab均為n階對稱矩陣，則ab =ba．
1．證因為at = a，bt = b，(ab)t = ab ——得3分
所以 ab = (ab)t = bt at = ba ——得5分
2．試證：設是n階矩陣，若= 0，則．
2．證因為 ——得2分
所以得5分
3．已知矩陣，且，試證是可逆矩陣，並求.
3. 證因為，且，即
， ——得3分
得，所以是可逆矩陣，且. ——得5分
4. 設階矩陣滿足，，證明是對稱矩陣.
4. 證因為
得4分 所以是對稱矩陣. ——得5分
5．設a，b均為n階對稱矩陣，則ab＋ba也是對稱矩陣．
5．證因為，且
得2分得5分 所以 ab＋ba是對稱矩陣．
6．設ak=0,其中a為方陣,k為大於1的某個正整數,證明(e-a)-1=e+a+a2+…+ak-1.
6．證：因為ako 所以eake ——得2分
又因為 eak(ea)(eaa2 ak1)
即 (ea)(eaa2 ak1)e
所以 (ea)可逆且 (ea)1eaa2 ak1 ——得5分
7．若a為非退化矩陣,並且ab=ba,試證： a-1b=ba-1。
7．證：因為a為非退化矩陣,並且ab=ba，
所以兩邊右乘得：， ——得3分
再兩邊左乘得： ——得5分
8．設a b為n階矩陣，且a為對稱矩陣，證明btab也是對稱矩陣
8．證：因為ata 所以
(btab)tbt(bta)tbtatbbtab ——得4分
從而btab是對稱矩陣得5分
9．設a b都是n階對稱矩陣，證明ab是對稱矩陣的充分必要條件是abba
9．證：充分性因為ata btb 且abba 所以
(ab)t(ba)tatbtab 即ab是對稱矩陣 ——得3分
必要性因為ata btb 且(ab)tab 所以
ab(ab)tbtatba得5分
10．n階方陣a滿足a2-3a-2e=0，其中a給定，證明a可逆
10．證：由a2-3a-2e=0可得：a(a-3e)=2e， ——得3分
即所以a可逆，且 ——得5分
11．設a、b均為n階方陣，且a2=a,b2=b，證明(a+b)2=a+b的充分必要條件是ab=ba=0.
12．若a為非退化矩陣,並且ab=ba,試證： a-1b=ba-1。
13．設a是n階方陣，且（a+e）2=0，證明a可逆.
14．設矩陣a可逆，證明（a*）-1=|a-1|a.
.綜合應用題能力：
1．設階方陣,其中是維列向量,證明：
（1）的充要條件為； （2）當時，矩陣不可逆。
2．設階方陣滿足，證明：
(1) 矩陣可逆2) 矩陣與不同時可逆。
3．如果，證明a2=a的充要條件是b2=e。
4．設矩陣a可逆證明其伴隨陣a*也可逆且(a*)1(a1)*
5．設矩陣a、b及ab都可逆證明a1b1也可逆並求其逆陣
6．若方陣a滿足，證明可逆，並求出的逆矩陣.
參***
1．設階方陣,其中是維列向量,證明：
（1）的充要條件為； （2）當時，矩陣不可逆。
1．證：（1）， ——得2分
故的充要條件為； ——得4分
（2） 由（1）得，若可逆，，
則，矛盾。 ——得8分
2．設階方陣滿足，證明：
(1) 矩陣可逆2) 矩陣與不同時可逆。
2．證：（1），； ——得4分
（2），與至少有乙個為零。
得8分3．如果，證明a2=a的充要條件是b2=e。
3．證：（必要性），
，化簡即得：b2=e。 ——得4分
（充分性）
得8分4．設矩陣a可逆證明其伴隨陣a*也可逆且(a*)1(a1)*
4．證：由a可逆可知：，即也可逆。
得4分所以得8分
5．設矩陣a、b及ab都可逆證明a1b1也可逆並求其逆陣
5．證：因為
a1(ab)b1b1a1a1b1得2分
而a1(ab)b1是三個可逆矩陣的乘積所以a1(ab)b1可逆即a1b1可逆
得6分 (a1b1)1[a1(ab)b1]1b(ab)1a得8分
6．若方陣a滿足，證明可逆，並求出的逆矩陣.
6．證：由可得，——得2分
即 ——得6分
所以可逆，且 ——得8分
發展應用題能力：
1．設為矩陣，證明：存在非零矩陣，使的充分必要條件為秩。
2．試證明：
3．設a為n階滿秩方陣(n≥2),a*為a的伴隨矩陣,求證(a*)*=|a| n－2a.
4．設n階矩陣a的伴隨矩陣為a* 證明
(1)若|a|0 則|a*|0 (2)|a*||a|n1
5．設a為mn矩陣，b為n階矩陣，且r(a)=n，試證：
（1）若ab=o，則b=o；（2）若ab=a則b=e。
6．設a、b為mn矩陣，則r(a+b)r(a)+r(b)。
7．如果a是
參***
1．設為矩陣，證明：存在非零矩陣，使的充分必要條件為秩。
1．證：
充分性：，存在乙個基礎解系，令，易知就是非零矩陣。 ——得5分
必要性：設，因是非零矩陣，故至少有乙個是非零向量。
，則都是線性方程組的解。
有非零解，即。 ——得10分
2．試證明：
2．證：設a的列向量組為，其極大無關組為，即
設b的列向量組為，其極大無關組為，即
將擴充為的列向量，則也是的極大無關組；將擴充為的列向量，則也是的極大無關組；易知線性無關。 ——得4分
設列向量組的極大無關組為，即
則任意必可由向量組線性表示，而任意的、都是的列向量，均可由線性表示；故向量組與向量組等價。——得8分
所以r=s+t，即。 ——得10分
3．設a為n階滿秩方陣(n≥2),a*為a的伴隨矩陣,求證(a*)*=|a| n－2a.
3．證： ——得4分
兩邊左乘a得，即
得8分 又因為a為n階滿秩方陣(n≥2)，即，。
所以(a*)*=|a| n－2a得10分
4．設n階矩陣a的伴隨矩陣為a* 證明
(1)若|a|0 則|a*|0 (2)|a*||a|n1
4．證：(1)用反證法證明假設|a*|0 則有a*(a*)1e 由此得
aa a*(a*)1|a|e(a*)1o
所以a*o 這與|a*|0矛盾，故當|a|0時有|a*|0 ——得5分
(2)由於則aa*|a|e 取行列式得到
|a||a*||a|n
若|a|0 則|a*||a|n1
若|a|0 由(1)知|a*|0 此時命題也成立
因此|a*||a|n1得10分
5．設a為mn矩陣，b為n階矩陣，且r(a)=n，試證：
（1）若ab=o，則b=o；（2）若ab=a則b=e。
5．證：（1）設b的列向量組為：，顯然任意都是齊次線性方程組ax=0的解向量。因為r(amn)=n，所以ax=0只有零解，即所有。故b=o。 ——得5分
（2）若ab=a則ab-a=o，a(b-e)=o
由（1）的結論可知(b-e)=o，即b=e得10分
6．設a、b為mn矩陣，則r(a+b)r(a)+r(b)。
6．證：設a的列向量組為，其極大無關組為，即
設b的列向量組為，其極大無關組為，即
得2分設a+b列向量組為，其任意乙個向量可由向量組線性表示，即向量組可由向量組線性表示。 ——得8分
所以r()r()s+t
即r(a+b)r(a)+r(b得10分
7．如果a是
7．證： ——得2分
幾何證明題
1 如圖,在三角形abc中,角c為90度,cd垂直ab,ae平分角bac交cd於f,交bc於g,fg平行於ab交bc於g,求證ce bg 證明 過e做eh ab交ab於h ae是 cab的平分線 ec ac ec eh 角平分線上的點到角的兩邊距離相等 ac bc，cd ab acd b ae是 c...
證明題專題
1.9分 如圖，是對角線上的兩點，且.求證 1 2 2 如圖，已知四邊形abcd是梯形，ad bc，a 90 bc bd，ce bd，垂足為e 1 求證 abd ecb 2 若 dbc 50 求 dce的度數 3 如圖，已知點 段上，請在下列四個等式中，ab de，acb f，a d，ac df 選...
綜合證明題
11年 28 9分 如圖，點c為線段ab上任意一點 不與點a b重合 分別以ac bc為一腰在ab的同側作等腰 acd和 bce，ca cd，cb ce，acd與 bce都是銳角，且 acd bce，連線ae交cd於點m，連線bd交ce於點n，ae與bd交於點p，連線cp 1 求證 ace dcb ...