1、如圖,在三角形abc中,角c為90度,cd垂直ab,ae平分角bac交cd於f,交bc於g,fg平行於ab交bc於g,求證ce=bg
證明：過e做eh⊥ab交ab於h
∵ae是∠cab的平分線
ec⊥ac
∴ec =eh(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)
∵ac⊥bc，cd⊥ab
∴∠acd=∠b
∵ae是∠cab的平分線
∴∠cae=∠eab
∵∠cfe = ∠caf+∠acd
∠cef = ∠eab+∠b
∴∠cef=∠cfe
∴ce=cf
∵fg//ab
∴cf⊥fg
∴rt△cfg≌rt△ehb
∴cg=eb
∴ce=bg
2、如圖,在三角形abc中,角bac=90,ab=ac,m為ac中點,ae垂直bm於e，延長ae交bc於d。求證：① bd=2cd ②∠1=∠2
證明①：過c點作ch平行ab交ad延長線於h點
對直角三角形abm，因為ae垂直bm，所以角eam=角abe，角eab=角amb
因為ab平行ch，所以角h=角bae
對於三角形abm和三角形cah，因為ab=ac，角h=角bae=角amb，所以三角形abm和三角形cah全等，所以ch＝am＝ac/2＝ab/2 即ch：ab＝1：2
因為ch平行ab，所以bd：cd＝ab：ch＝2：1，即bd＝2cd
證明②：
過c點做cf⊥ac,交ad延長線於點f
∴∠acf=90度
∵∠bac=90度
∴ab‖cf
∴∠bae=∠f
∵∠bac=90度
∴∠bae+∠mae=90度
∵bm⊥ad
∴∠amb+∠mae=90度
∴∠bae=∠amb
∴∠amb=∠f
在三角形abm和三角形afc中
∵ab=ac,∠acf=∠bac=90度,∠amb=∠f
∴三角形abm全等於三角形afc(aas)
∴am=cf
∵am=cm
∴cm=cf
在三角形cmd和三角形cfd中
∵∠acb=∠fcd=45度(因為三角形abc是等腰直角三角形,所以角acb=45度,所以角dcf=90-45=45度),cm=cf,cd=cd
∴三角形cmd全等於三角形cfd(sas)
∴∠f=∠dmc
又∵∠f=∠amb
∴∠amb=∠dmc
幾何證明題
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