四邊形證明題
1、已知：如圖，在正方形abcd中，點e、f分別在邊bc和cd上，∠bae =∠daf．
（1）求證：be = df；
（2）聯結ac交ef於點o，延長oc至點m，使om = oa，聯結em、fm．
求證：四邊形aemf是菱形．
2、如圖8，已知梯形中，，、分別是、的中點，點在
邊上，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）聯結,若平分，
求證：四邊形是矩形．
3、如圖，在等腰梯形abcd中，∠c=60°，ad∥bc，且ad=ab=dc，e、f分別在ad、dc的延長線上，且de=cf，af、be交於點p。
（1）求證：af=be；
（2）請猜測∠bpf的度數，並證明你的結論。
4、如圖，在矩形abcd中，bm⊥ac，dn⊥ac，m、n是垂足.
（1）求證：an=cm；
（2）如果an=mn=2，求矩形abcd的面積.
5.如圖.在平行四邊形中，為對角線的交點，點為線段延長線上的一點，且.過點作∥，交於點，聯結.
（1）求證：∥；
（2）如果梯形是等腰梯形，判斷四邊形的形狀，
並給出證明.
6、如圖，在正方形abcd中，點e、f分別是邊ab、ad的中點，de與cf相交於g，de、cb的延長線相交於點h，點m是cg的中點．
求證：（1）bm//gh；
2）bm⊥cf．
7．已知：如圖，ae∥bf，ac平分∠bad，交bf於點c，bd平分∠abc，交ae於點d，聯結cd.求證：四邊形abcd是菱形．
8．如圖，在正方形中，點、分別是邊、的中點，與相交於，、的延長線相交於點，點是的中點.
求證：（1） (2)
9．已知：如圖，在梯形abcd中，ad//bc，ab=cd，點e、f在邊bc上，be=cf，ef=ad．
求證：四邊形aefd是矩形．
10．如圖，在□abcd中，e、f分別為邊abcd的中點，bd是對角線，過a點作ag//db交cb的延長線於點g．
（1）求證：de∥bf；
（2）若∠g＝，求證：四邊形debf是菱形．
11．已知：如圖，在梯形abcd中，ad//bc，bc=2ad，ac⊥ab，點e是ac的中點，de的延長線與邊bc相交於點f．
求證：四邊形afcd是菱形．
12．（本題共2小題，每小題6分，滿分12分）
已知：如圖，在梯形abcd中，ad // bc，點e、f在邊bc上，de // ab，af // cd，且四邊形aefd是平行四邊形．[**:學+科+網z+x+x+k]
（1）試判斷線段ad與bc的長度之間有怎樣的數量關係？並證明你的結論；
（2）現有三個論斷：①ad = ab；②∠b +∠c
= 90°；③∠b = 2∠c．請從上述三個論斷中選擇乙個論斷作為條件，證明四邊形aefd是菱形．
四邊形證明題答案
1．證明：（1）∵正方形abcd，∴ab=ad，∠b =∠d=902分）
∵∠bae = ∠daf
∴△abe≌△adf1分）
∴be = df2分）
（2）∵正方形abcd，∴∠bac =∠dac1分）
bae =∠daf ∴∠eao =∠fao1分）
∵△abe≌△adf ∴ae = af1分）
∴eo=fo ，ao⊥ef2分）
∵om = oa ∴ 四邊形aemf是平行四邊形1分）
∵ao⊥ef ∴四邊形aemf是菱形1分）
2．（1）證明：聯結eg，
∵ 梯形中，，且、分別是、的中點，
∴ eg//bc，且2分）
又∵ ∴ eg=bf1分）
∴ 四邊形是平行四邊形．…………………（2分）
（2）證明：設af與eg交於點o，
eg//ad，∴∠dag=∠age
∵平分，∴∠dag=∠gao
∴∠gao=∠age
∴ ao=go2分）
四邊形是平行四邊形，
∴ af=eg，四邊形是矩形2分）
3．證明：（1）∵梯形abcd是等腰梯形，ad∥bc
∴ ∠bae=∠adf1分）
ad= dc ∴ ae=df1分）
∵ba=ad ∴△bae≌△adf1分）
∴be=af1分）
（2）猜想∠bpf=1201分）
∵由（1）知△bae≌△adf，∴∠abe=∠daf1分）
∴∠bpf=∠abe+∠bap=∠bae1分）
而ad∥bc，∠c=∠abc=60°，∴=120°．
∴∠bpf=∠bae =1201分）
4、證：（1）∵四邊形abcd是矩形，
∴ad∥bc，ad=bc.
∴∠dac=∠bca.
又∵dn⊥ac，bm⊥ac，
∴∠dna=∠bmc.
∴⊿dan≌⊿bcm3分）
an=cm1分）
（2）聯結bd交ac於點o，
an = nm=2,
∴ac = bd =6,
又∵四邊形abcd是矩形，
∴ao=do=3，
在⊿odn中，od=3，on=1，∠ond=,
∴dn2分）
∴矩形abcd的面積1分）
5.解：（1）方法1：延長交於（如圖1）.……………1分
在平行四邊形中，∥，.
∵∥，∥，
∴四邊形是平行四邊形.
∴.……………1分
又∵，，
∴.……………1分
∵∥，∴.
在和中，
∵，，，
∴≌（a.a.s1分
∵四邊形是平行四邊形，∴.
1分方法2：將線段的中點記為，聯結（如圖2）. ………………1分
∵四邊形是平行四邊形，∴.
1分∴.
∵∥，∴.
∵，，∴.
在和中，
∵，，，
∴≌（a.s.a1分
∴.又∵∥，
∴四邊形是平行四邊形1分
1分其他方法，請參照上述標準酌情評分.
（2）如果梯形是等腰梯形，那麼四邊形是矩形. ……………1分
∵∥，∥，∴四邊形是平行四邊形.
∴.……………1分
又∵梯形是等腰梯形，∴.
∴.（備註：使用方法2的同學也可能由≌找到解題方法；使用方法1的同學也可能由四邊形是平行四邊形找到解題方法）.
∵四邊形是平行四邊形，∴，.
∴.……………1分
∴平行四邊形是矩形. ……………1分
6．證明：（1）∵在正方形abcd中，ad//bc，∴∠a=∠hbe，∠ade=∠h，…（1分）
∵ae=be，∴△ade≌△bhe1分）
∴bh=ad=bc1分）
∵cm=gm，∴bm//gh1分）
2）∵在正方形abcd中，ab=ad=cd，∠a=∠adc=90，
又∵df=ad，ae=ab，∴ae=df．∴△aed≌△dfc．………（1分）
∴∠ade=∠dcf1分）
∵∠ade+∠gdc=90，∴∠dcf+∠gdc=90．∴∠dgc=90．…（1分）
∵bm//gh，∴∠bmg=∠dgc=90，即bm⊥cf．…………………（1分）
7、證明：∵ac平分∠bad， ∴∠bac=∠cad.
又 ∵ae∥bf， ∴∠bca=∠cad1分
∴∠bac=∠bca.
∴ ab=bc1分
同理可證ab=ad.
∴ ad=bc1分
又 ad∥bc，
∴ 四邊形abcd是平行四邊形. -----1分
又ab=bc，∴□abcd是菱形. -----1分
8. 證明：（1）∵正方形
∴ …………1′
∵是的中點 ∴…………1′
∵∴…………1′
1′∵是的中點 ∴…………1′
(2)證…………1′ ∴
1′∵ ∴
∴…………1′
9．證法一： ∵在梯形abcd中，ad//bc，又∵ef=ad，
四邊形aefd是平行四邊形1分）
ad//df，∴∠aef=∠dfc1分）
∵ab=cd，∴∠b=∠c1分）
又∵be=cf，∴△abe≌△dcf1分）
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