三角形四邊形存在性問題
1. （2012海南省i13分）如圖，頂點為p（4，－4）的二次函式圖象經過原點（0，0），點a在該圖象上，
oa交其對稱軸於點m，點m、n關於點p對稱，連線an、on
（1）求該二次函式的關係式.
（2）若點a的座標是（6，－3），求△ano的面積.
（3）當點a在對稱軸右側的二次函式圖象上運動，請解答下列問題：
①證明：∠anm=∠onm
②△ano能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點a的座標，如果不能，請說明理由.
【答案】解：（1）∵二次函式圖象的頂點為p（4，－4），∴設二次函式的關係式為。
又∵二次函式圖象經過原點（0，0），∴，解得。
二次函式的關係式為，即。
2）設直線oa的解析式為，將a（6，－3）代入得，解得。
直線oa的解析式為。
把代入得。∴m（4，－2）。
又∵點m、n關於點p對稱，∴n（4，－6），mn=4。
∴。3）①證明：過點a作ah⊥於點h，，與x軸交於點d。則
設a（）,
則直線oa的解析式為。
則m（），n（），h（）。
∴od=4，nd=，ha=，nh=。
∴。∴。∴∠anm=∠onm。
②能。理由如下：分三種情況討論：
情況1，若∠ona是直角，由①，得∠anm=∠onm=450，
∴△ahn是等腰直角三角形。∴ha=nh，即。
整理，得，解得。
∴此時，點a與點p重合。故此時不存在點a，使∠ona是直角。
情況2，若∠aon是直角，則。
∵ ，∴。
整理，得，解得，。
捨去，（在左側）。
當時，。
∴此時存在點a（），使∠aon是直角。
情況3，若∠nao是直角，則△amn∽△dmo∽△don，∴。
∵od=4，md=，nd=，∴。
整理，得，解得。
∴此時，點a與點p重合。故此時不存在點a，使∠ona是直角。
綜上所述，當點a在對稱軸右側的二次函式圖象上運動時，存在點a（），使∠aon是直角，即△ano為直角三角形。
2. （2012山西省14分）綜合與實踐：如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交於a．b兩點，與y軸交於點c，點d是該拋物線的頂點．
（1）求直線ac的解析式及b．d兩點的座標；
（2）點p是x軸上乙個動點，過p作直線l∥ac交拋物線於點q，試**：隨著p點的運動，在拋物線上是否存在點q，使以點a．p、q、c為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點q的座標；若不存在，請說明理由．
（3）請在直線ac上找一點m，使△bdm的周長最小，求出m點的座標．
【答案】解：（1）當y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。
∵點a在點b的左側，∴a．b的座標分別為（﹣1，0），（3，0）。
當x=0時，y=3。∴c點的座標為（0，3）。
設直線ac的解析式為y=k1x+b1（k1≠0），則
，解得。
∴直線ac的解析式為y=3x+3。
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點d的座標為（1，4）。
（2）拋物線上有三個這樣的點q。如圖，
①當點q在q1位置時，q1的縱座標為3，代入拋物線可得點q1的座標為（2，3）；
②當點q在點q2位置時，點q2的縱座標為﹣3，代入拋物線可得點q2座標為（1+，﹣3）；
③當點q在q3位置時，點q3的縱座標為﹣3，代入拋物線解析式可得，點q3的座標為（1﹣，﹣3）。
綜上可得滿足題意的點q有三個，分別為：q1（2，3），q2（1+，﹣3），q3（1﹣，﹣3）。
（3）點b作bb′⊥ac於點f，使b′f=bf，則b′為點b關於直線ac 的對稱點．連線b′d交直線ac與點m，則點m為所求。
過點b′作b′e⊥x軸於點e。
∵∠1和∠2都是∠3的餘角，∴∠1=∠2。
∴rt△aoc∽rt△afb。∴。
由a（﹣1，0），b（3，0），c（0，3）得oa=1，ob=3，oc=3，
∴ac=，ab=4。
∴，解得。∴bb′=2bf=，
由∠1=∠2可得rt△aoc∽rt△b′eb，∴。
∴。∴b′e=，be=。∴oe=be﹣ob=﹣3=．
∴b′點的座標為（﹣，）。
設直線b′d的解析式為y=k2x+b2（k2≠0），則
，解得。
∴直線b'd的解析式為：。
聯立b'd與ac的直線解析式可得：
，解得。
∴m點的座標為（）。
3. （2012陝西省10分）如果一條拋物線與x軸有兩個交點，那麼以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的「拋物線三角形」．
（1）「拋物線三角形」一定是三角形；
（2）若拋物線的「拋物線三角形」是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如圖，△oab是拋物線的「拋物線三角形」，是否存在以原點o為對稱中心的矩形abcd？若存在，求出過o、c、d三點的拋物線的表示式；若不存在，說明理由．
【答案】解：（1）等腰。
2）∵拋物線的「拋物線三角形」是等腰直角三角形，
該拋物線的頂點滿足（b＞0）。
b=2。
3）存在。
如圖，作△ocd與△oab關於原點o中心對稱，
則四邊形abcd為平行四邊形。
當oa=ob時，平行四邊形abcd為矩形。
又∵ao=ab， ∴△oab為等邊三角形。
作ae⊥ob，垂足為e，
即，∴．
設過點o、c、d三點的拋物線，則
解得，。
所求拋物線的表示式為。
4. （2012重慶市12分）已知：如圖，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠b=90°，ad=2，bc=6，ab=3．e為bc邊上一點，以be為邊作正方形befg，使正方形befg和梯形abcd在bc的同側．
（1）當正方形的頂點f恰好落在對角線ac上時，求be的長；
（2）將（1）問中的正方形befg沿bc向右平移，記平移中的正方形befc為正方形b′efg，當點e與點c重合時停止平移．設平移的距離為t，正方形b′efg的邊ef與ac交於點m，連線b′d，b′m，dm，是否存在這樣的t，使△b′dm是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）問的平移過程中，設正方形b′efg與△adc重疊部分的面積為s，請直接寫出s與t之間的函式關係式以及自變數t的取值範圍．
【答案】解：（1）如圖①，設正方形befg的邊長為x，
則be=fg=bg=x。
∵ab=3，bc=6，∴ag=ab﹣bg=3﹣x。
∵gf∥be，∴△agf∽△abc。
∴，即。
解得：x=2，即be=2。
（2）存在滿足條件的t，理由如下：
如圖②，過點d作dh⊥bc於h，
則bh=ad=2，dh=ab=3，
由題意得：bb′=he=t，hb′=|t﹣2|，ec=4﹣t，
∵ef∥ab，∴△mec∽△abc。
∴，即。∴me=2﹣t。
在rt△b′me中，b′m2=me2+b′e2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。
在rt△dhb′中，b′d2=dh2+b′h2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。
過點m作mn⊥dh於n，則mn=he=t，nh=me=2﹣t，
∴dn=dh﹣nh=3﹣（2﹣t）=t+1。
在rt△dmn中，dm2=dn2+mn2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。
（ⅰ）若∠db′m=90°，則dm2=b′m2+b′d2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。
（ⅱ）若∠b′md=90°，則b′d2=b′m2+dm2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（捨去）。
∴t=﹣3+。
（ⅲ）若∠b′dm=90°，則b′m2=b′d2+dm2，
即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程無解。
綜上所述，當t=或﹣3+時，△b′dm是直角三角形；
（3）。
。5. （2012甘肅**12分）已知，在rt△oab中，∠oab=90°，∠boa=30°，ab=2．若以o為座標原點，oa所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角座標系，點b在第一象限內．將rt△oab沿ob摺疊後，點a落在第一象限內的點c處．
（1）求點c的座標；
（2）若拋物線經過c、a兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若上述拋物線的對稱軸與ob交於點d，點p為線段db上一動點，過p作y軸的平行線，交拋物線於點m，問：是否存在這樣的點p，使得四邊形cdpm為等腰梯形？若存在，請求出此時點p的座標；若不存在，請說明理由．
【答案】解：（1）過c作ch⊥oa於h，
在rt△oab中，∠oab=90°，∠boa=30°，ab=2，∴oa=。
∵將rt△oab沿ob摺疊後，點a落在第一象限內的點c處，
∴oc=oa=，∠aoc=60°。
∴oh=，ch=3 。
∴c的座標是（，3）。
（2）∵拋物線經過c（，3）、a（，0）兩點，
∴，解得。∴此拋物線的解析式為
（3）存在。
∵的頂點座標為（，3），即為點c。
mp⊥x軸，設垂足為n，pn＝t，
∵∠boa＝300，所以on＝
p（）作pq⊥cd，垂足為q，me⊥cd，垂足為e。
把代入得：。
m（，），e（，）。
同理：q（，t），d（，1）。
要使四邊形cdpm為等腰梯形，只需ce＝qd，
即，解得：，（捨去）。
p點座標為（，）。
2023年中考數學幾何證明三角形四邊形
2011年中考數學幾何證明 三角形 四邊形 經典彙編 1 本題10分 如圖，已知 abcd中，的平分線交邊於，的平分線交於，交於 求證 2 在正方形abcd中，ac為對角線，e為ac上一點，連線eb ed 1 求證 bec dec 2 延長be交ad於f，當 bed 120 時，求 efd的度數 學...
2023年中考數學幾何證明 三角形 四邊形 經典
2011年中考數學幾何證明 三角形 四邊形 經典彙編 1 本題10分 如圖，已知 abcd中，的平分線交邊於，的平分線交於，交於 求證 2 在正方形abcd中，ac為對角線，e為ac上一點，連線eb ed 1 求證 bec dec 2 延長be交ad於f，當 bed 120 時，求 efd的度數 學...
三角形 四邊形專題訓練
三角形 四邊形 列方程 組 解應用題專題訓練 5 如圖6，的兩條對角線 相交於點 1 圖中有哪些三角形是全等的？2 選出其中一對全等三角形進行證明 6.如圖，已知四邊形是菱形，請說明與的數量關係.列方程 組 解應用題 1 某校七年級準備購買一批筆記本獎勵優秀學生，在購買時發現，每本筆記本可以打九折，...