第四章：四邊形性質探索
一、中考要求：
1．經歷特殊四邊形性質的探索過程，豐富我們從事數學活動的經驗和體驗，進一步培養合情推理能力，增強簡單邏輯推理能力，和掌握說理的基本方法．
2．掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的關係．
3．探索並掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有關性質和常用的判別方法．
4．探索並了解正多邊形的內角和與外角和公式，了解正多邊形概念．
5．通過探索平面圖形的密鋪，了解三角形、四邊形、正六邊形可以密鋪，能運用這三種圖形進行簡單的密鋪設計．
二、中考卷研究
(一)中考對知識點的考查：
2004、2023年部分省市課標中考涉及的知識點如下表:
(二)中考熱點：
四邊形的摺疊問題與函式圖象一起考查是2004、2023年中考試題中的熱點題型．
三、中考命題趨勢及複習對策
四邊形尤其是特殊的四邊形，在近幾年的中考試題中所佔的比例較大，一般有兩道題，乙個是填空題或選擇題，另乙個是解答題，分值大約佔總分的9％左右，多邊形內角和的考題一般以填空題的形式出現；考查平行四邊形及特殊的平行四邊形時，可能出簡單的填空、選擇，考查它們的判定條件時多以開放型試題出現的較多，或利用性質計算等；一般情況下有關平行四邊形的試題多數為解答題，它將把幾種四邊形綜合在一起，有時也將三角形的知識新增進來，題型比較靈活，複習時要以基礎知識和基本技能為主，但要注意各知識點的結合；近年來對平面圖形的鑲嵌考查的
力度有所增加，主要以填空、選擇為主，複習時要注重理解概念．
i)考點突破★★★
考點1：平行四邊形的性質和判定
一、考點講解：
平行四邊形是四邊形中應用廣泛的一種圖形，它是研究特殊四邊形的基礎，是研究線段相等、角相等和直線平行的根據之一．
1．平行四邊形的定義。兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的定義要抓住兩點，即「四邊形」和「兩組對邊分別平行」．
四邊形的邊角按位置關係可分為兩類：
對邊（沒有公共端點的兩條邊）
鄰邊（有乙個公共端點的兩條邊）
對角（沒有公共邊的兩個角）
鄰角（有一條公共邊的兩個角）
對角線：不相鄰的兩個頂點連成的線段．
2．兩條平行線間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做兩條平行線間的距離．兩條平行線間的距離是乙個定值，不隨垂線段位置改變而改變，兩條平行線間的距離處處相等．
3．平行四邊形的性質：
文字表達：平行四邊形的兩組對邊分別平行；平行四邊形的兩組對邊分別相等；平行四邊形的兩組對角分別相等；平行四邊形的對角線互相平分．
圖形如圖1－4－1
符號語言表達：
四邊形abcd是平行四邊形
4．平行四邊形的判定：
文字表達：
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
圖形如圖l－4－2：
符號語言表達：
ab∥四邊形abcd是平行四邊形
ab=cd，bc=ad四邊形abcd是平行四邊形．
ab平行且相等cd或bc平行且相等ad四邊形abcd是平行四邊形．
oa=oc，ob=od四邊形abcd是平行四邊形．
∠abc＝∠adc，∠dab＝∠dcb邊形abcd是平行四邊形．
二、經典考題剖析：
【考題1－1】（2004、寧安）如圖1―4―3，在□abcd中，如果點m為cd中點，am與bd相交於點n那麼sδdmn：s□abcd為（ ）
a．1：12 b．1：9 c．1：8 d．1：6
【考題1－2】（2004、海口）如圖1―4―4，□abcd中，對角線ac和 bd相交於點o，如果ac=12，bd=10，ab=m，那麼m的取值範圍是（ ）
a．1＜m＜11 b．2＜m＜22
c．10＜m＜12 d．5＜m＜6
解：a 點撥：點o、a、b組成三角形，由三角形三邊關係得1＜m＜11，故選a．
【考題1－3】（2004、南寧，2分）順次連線乙個任意四邊形四邊的中點，得到乙個四邊形．
解：平行四邊形點撥：運用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理．
【考題1－4】（2004、深圳南山）如圖1―4―5，在四邊形abcd中，e、f、g、h分別是邊ab、bc、cd、da的中點，請新增乙個條件，使四邊形efgh為菱形，並說明理由，
解：新增的條件理由：
解：條件：對角線相等．理由：
如圖l－4－6，鏈結 ac、bd，因為在△abc中，ae=be，pf＝cf，所以ef是△abc的中位線．所以 ef=·ac．同理可得 fg=bd，gh=ac，he=bd．又因為ac=bd（新增條件）所以ef=fg=gh=he．故四邊形efgh為菱形．
點撥：主要考查三角形的中位線定理和菱形的判定定理．
【考題1－5】（2004、青島）已知：如圖1―4―7在△abc中，ab=ac=a，m為底邊bc上任意一點，過點m分別作ab、ac的平行線交ac於p，交ab於q.
(1)求四邊形aqmp的周長；
(2)寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；
(3)m位於bc的什麼位置時，四邊形aqmp為菱形？說明你的理由.
解：（1）∵pm∥ab，qm∥ac
∴四邊形aqmp為平行四邊形
且∠1＝∠c，∠2＝∠b 又∵ab＝ac＝a
∴∠b＝∠c ∴∠1＝∠b＝∠c＝∠2
∴qb＝qm，pm＝pc∴四邊形aqmp的周長為：
aq＋qm＋mp＋pa＝ap＋qb＋pc＋pa＝ab＋ac＝2a；
（2）△abc∽△qbm∽△pmc；
（三對中寫出任意兩對即可）
（3）當m為底邊bc的中點時，四邊形aqmp為菱形. 當m為bc中點時
∵pm∥ab. qm∥ac ∴pmab＝
qmac＝ ∴pm＝qm
由（1）知：四邊形aqmp為平行四邊形
∴四邊形aqmp為菱形.
點撥：通過對四邊形的基礎知識的考查來增強同學們的探索能力和邏輯思維能力．
三、針對性訓練：(45 分鐘) (答案：233 )
1．在□abcd中，∠c＝∠b+∠d，則∠a＝____
2．已知□abcd的周長為30㎝，ab：bc=2：3，那麼ab
3．平行四邊形的面積為144㎝2 ，若相鄰兩邊上的高分別為8cm和12cm，則這兩個鄰邊的長分別是和______，平行四邊形的周長是_______．
4．四邊形任意兩個相鄰的角都互補，那麼這個四邊形是________．
5．在四邊形abcd中，給出下列條件：
①ab∥cd，②ad=bc，③∠a＝∠c，④ad∥bc．能判斷四邊形是平行四邊形的組合是_______．
6．下面給出四邊形abcd中∠a、∠b、∠c、∠d的度數之比，其中能判別四邊形abcd是平行四邊形的是（）
a．l：2：3：4 b．2：3：2：3
c．2：3：3：2 d．1：2：2：3
7．平行四邊形一組對角的平分線（ ）
a．在同一條直線上． b．平行
c．相交 d．平行或在同一直線上
8．以不在同一直線上的三點作平行四
邊形的三個頂點，則可作出平行四邊形（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
9．如果圖1―4―9四邊形abcd是平行四邊形，bd
⊥ad，ob=3，ad=4，求 ab、ac、bc的長及s□abcd
10 如圖1―4―10，在□abcd中，ce是 ∠dcb的平分線，f是 ab的中點，ab=6，bc=4，e、ef、fb為多少？
11 現有一塊等腰直角三角形的鐵板，通過切割焊接成乙個含有45○角的平行四邊形，請你設計一種最簡單的方案，並說明你的方案正確的理由．
12 如圖1―4―11，已知等邊三角形abc的邊長為a， p是△abc內一點，pd∥ab，pe∥bc，pf ∥ac，點d、e、f分別在 bc、ac、ab上，猜想：pd＋pe+pf=______，並證明你的猜想．
13 如圖1―4―12，在平行四邊形abcd中，點e、f 在對角線ac上，且ae=cf，請你以f為乙個端點，和圖中已標明字母的某乙個點連成一條新線段，猜想並證明它和圖中已有的某一條線段相等．（只需說明一組線段相等即可）
（1）連線_______；（2）猜想________
（3）說明理由.
14 如圖1―4―13，某村有一塊四邊形池塘，在它的四個角a、b、c、d處均有一棵大核桃樹，此村準備開挖池塘建養魚池，想使池塘的面積擴大一倍，又保持核桃樹不動，並要求擴建後的池塘成平行四邊形狀，你認為該村能否實現這一設想？若能，請你設計並畫出圖形；若不能請說明理由．
考點2：矩形、菱形、正方形的性質和判定
一、考點講解：
l．菱形的性質：①菱形的四條邊都相等．②菱形的對角線互相垂直，並且每條對角線平分一組對角．③具有平行四邊形所有性質．
2．菱形的判定：①對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．②一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
③四條邊都相等的四邊形是菱形．
3．矩形的性質：①矩形的四個角都是直角．②矩形的對角線相等．③矩形具有平行四邊形的所有性質．
4．矩形的判定：①有乙個角是直角的平行四邊形是矩形．②對角線相等的平行四邊形是矩形．③有三個角是直角的四邊形是矩形．
5．正方形的性質：①正方形的四個角都是直角，四條邊都相等．②正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．
6．正方形的判定：①有乙個角是直角的柳是正方形．②有一組鄰邊相等的矩形是正方形．③對角線相等的菱形是正方形．④對角線互相垂直的矩形是正方形．
第四章《四邊形的性質探索》單元測驗
姓名班級 成績 一 選擇題 本大題10個小題，每小題3分，共30分，請將答案填在 上，否則不得分 1 下面給出的是一些產品的圖案，從幾何圖形的角度看，這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是 abcd 2 能判定四邊形abcd為平行四邊形的是 a ab cd，ad bcb a b，c d c ab...
第四章《四邊形性質探索》單元檢測題 含答案
第四章 四邊形性質探索 一 選擇題 1.用兩塊完全重合的等腰直角三角形紙片拼下列圖形 平行四邊形 不包括菱形，正方形 矩形 不是正方形 正方形 等邊三角形 等腰直角三角形，一定能拼成的圖形是 abc.d.2.用兩塊完全相同的直角三角形拼下列圖形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 等腰三角形 等邊三角形...
初二數學四邊形菱形
菱形1.如圖所示，已知菱形abcd中，e f分別在bc和cd上，且 b eaf 60 bae 15 求 cef的度數。2.已知 如圖，在菱形abcd中，e f分別是bc cd上的點，且ce cf。過點c作cg ea交af於h，交ad於g，若 bae 25 bcd 130 求 ahc的度數。3.如圖所...