1、（2023年成都）已知：如圖，△abc中，∠abc=45°，cd⊥ab於d，be平分∠abc，且be⊥ac於e，與cd相交於點f，h是bc邊的中點，鏈結dh與be相交於點g。
(!)求證：bf=ac；
(2)求證：ce=bf；
(3)ce與bc的大小關係如何？試證明你的結論。
2.（2012內江）已知△abc為等邊三角形，點d為直線bc上的一動點（點d不與b、c重合），以ad為邊作菱形adef（a、d、e、f按逆時針排列），使∠daf=60°，連線cf．
（1）如圖1，當點d在邊bc上時，求證：①bd=cf；②ac=cf+cd；
（2）如圖2，當點d在邊bc的延長線上且其他條件不變時，結論ac=cf+cd是否成立？若不成立，請寫出ac、cf、cd之間存在的數量關係，並說明理由；
（3）如圖3，當點d在邊bc的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，並直接寫出ac、cf、cd之間存在的數量關係．
3（08河北中考第24題）如圖14-1，在△abc中，bc邊在直線l上，ac⊥bc，且ac = bc．△efp的邊fp也在直線l上，邊ef與邊ac重合，且ef=fp．（1）在圖14-1中，請你通過觀察、測量，猜想並寫出ab與ap所滿足的數量關係和位置關係；（2）將△efp沿直線l向左平移到圖14-2的位置時，ep交ac於點q，鏈結ap，bq．猜想並寫出bq與ap所滿足的數量關係和位置關係，請證明你的猜想；（3）將△efp沿直線l向左平移到圖14-3的位置時，ep的延長線交ac的延長線於點q，鏈結ap，bq．你認為（2）中所猜想的bq與ap的數量關係和位置關係還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．
4.如圖1、圖2、圖3，△aob，△cod均是等腰直角三角形，∠aob＝∠cod＝90，
（1）在圖1中，ac與bd相等嗎，有怎樣的位置關係？請說明理由。
（2）若△cod繞點o順時針旋轉一定角度後，到達圖2的位置，請問ac與bd還相等嗎，還具有那種位置關係嗎？為什麼？
（3）若△cod繞點o順時針旋轉一定角度後，到達圖3的位置，請問ac與bd還相等嗎？還具有上問中的位置關係嗎？為什麼？
考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．分析：（1）根據等腰三角形的兩腰相等進行解答．
（2）證明△dob≌△coa，根據全等三角形的對應邊相等進行說明．解答：解：（1）相等．
在圖1中，∵△aob，△cod均是等腰直角三角形，∠aob=∠cod=90°，
∴oa=ob，oc=od，
∴0a-0c=0b-od，
∴ac=bd；
（2）相等．
在圖2中，0d=oc，∠dob=∠coa，ob=oa，
∴△dob≌△coa，
∴bd=ac．點評：本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的性質以及旋轉問題，在旋轉的過程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對應邊與對應角．
5（2008河南）．（9分）複習「全等三角形」的知識時，老師布置了一道作業題：「如圖①，已知在△abc中，ab=ac，p是△abc內部任意一點，將ap繞a順時針旋轉至aq，使∠qap=∠bac，連線bq、cp，則bq=cp．」
小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖①的分析，證明了△abq≌△acp，從而證得bq=cp之後，將點p移到等腰三角形abc之外，原題中的條件不變，發現「bq=cp」仍然成立，請你就圖②給出證明．
考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．專題：證明題；**型．分析：
此題的兩個小題思路是一致的；已知∠qap=∠bac，那麼這兩個等角同時減去同乙個角（2題是加上同乙個角），來證得∠qab=∠pac；而根據旋轉的性質知：ap=aq，且已知ab=ac，即可由sas證得△abq≌△acp，進而得出bq=cp的結論．解答：證明：
（1）∵∠qap=∠bac，
∴∠qap-∠bap=∠bac-∠bap，
即∠qab=∠cap；
在△bqa和△cpa中，
aq=ap ∠qab=∠cap ab=ac ，
∴△bqa≌△cpa（sas）；
∴bq=cp．
（2）bq=cp仍然成立，理由如下：
∵∠qap=∠bac，
∴∠qap+∠pab=∠bac+∠pab，
即∠qab=∠pac；
在△qab和△pac中，
aq=ap ∠qab=∠pac ab=ac ，
∴△qab≌△pac（sas），
∴bq=cp．點評：此題主要考查了等腰三角形的性質以及全等三角形的判定和性質；選擇並利用三角形全等是正確解答本題的關鍵．
5（2009山西太原）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片和．且≌。將這兩張三角形膠片的頂點與頂點重合，把繞點順時針方向旋轉，這時與相交於點．
①當旋轉至如圖②位置，點，在同一直線上時，與的數量關係是 ．
②當繼續旋轉至如圖③位置時，（1）中的結論還成立嗎？ao與do存在怎樣的數量關係？請說明理由．
考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質．專題：**型．分析：（1）根據外角的性質，得∠afd=∠d+∠abc，∠dca=∠a+∠abc，從而得出∠afd=∠dca；
（2）成立．由△abc≌△def，可證明∠abf=∠dec．則△abf≌△dec，從而證出∠afd=∠dca；
（3）bo⊥ad．由△abc≌△def，可證得點b在ad的垂直平分線上，進而證得點o在ad的垂直平分線上，則直線bo是ad的垂直平分線，即bo⊥ad．解答：解：（1）∠afd=∠dca（或相等）．
（2）∠afd=∠dca（或成立），理由如下：
方法一：由△abc≌△def，得ab=de，bc=ef（或bf=ec），∠abc=∠def，∠bac=∠edf．∴∠abc-∠fbc=∠def-∠cbf，
∴∠abf=∠dec．
在△abf和△dec中， ab=de ∠abf=∠dec bf=ec
∴△abf≌△dec，∠baf=∠edc．
∴∠bac-∠baf=∠edf-∠edc，∠fac=∠cdf．
∵∠aod=∠fac+∠afd=∠cdf+∠dca，
∴∠afd=∠dca．
方法二：連線ad．同方法一△abf≌△dec，
∴af=dc．
由△abc≌△def，得fd=ca．
在△afd≌△dca， af=dc fd=ca ad=da
∴△afd≌△dca，∠afd=∠dca．
（3）如圖，bo⊥ad．
方法一：由△abc≌△def，點b與點e重合，
得∠bac=∠bdf，ba=bd．
∴點b在ad的垂直平分線上，
且∠bad=∠bda．
∵∠oad=∠bad-∠bac，∠oda=∠bda-∠bdf，
∴∠oad=∠oda．
∴oa=od，點o在ad的垂直平分線上．
∴直線bo是ad的垂直平分線，bo⊥ad．
方法二：延長bo交ad於點g，同方法一，oa=od．
在△abo和△dbo中， ab=db bo=bo oa=od
∴△abo≌△dbo，∠abo=∠dbo．
在△abg和△dbg中， ab=db ∠abg=∠dbg bg=bg
∴△abg≌△dbg，∠agb=∠dgb=90°．
∴bo⊥ad．點評：本題考查了三角形全等的判定和性質以及旋轉的性質，是基礎知識要熟練掌握．
例1 正方形abcd中，e為bc上的一點，f為cd上的一點，be+df=ef，求∠eaf的度數.
考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．分析：延長eb使得bg=df，易證△abg≌△adf（sas）可得af=ag，進而求證△aeg≌△aef可得∠eag=∠eaf，再求出∠eag+∠eaf=90°即可解題．解答：
解：延長eb使得bg=df，
在△abg和△adf中，
由 ab=ad ∠abg=∠adf=90° bg=df ，
可得△abg≌△adf（sas），
∴∠daf=∠bag，af=ag，
又∵ef=df+be=eb+bg=eg，ae=ae，
∴△aeg≌△aef（sss），
∴∠eag=∠eaf，
∵∠daf+∠eaf+∠bae=90°
∴∠eag+∠eaf=90°，
∴∠eaf=45°．
答：∠eaf的角度為45°．點評：本題考查了正方形各內角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證∠eag=∠eaf是解題的關鍵．
例2 d為等腰斜邊ab的中點，dm⊥dn,dm,dn分別交bc,ca於點e,f。
（1） 當繞點d轉動時，求證de=df。
（2） 若ab=2，求四邊形decf的面積。
考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．專題：計算題．分析：
（1）連cd，根據等腰直角三角形的性質得到cd平分∠acb，cd⊥ab，∠a=45°，cd=da，則∠bcd=45°，∠cda=90°，由∠dm⊥dn得∠edf=90°，根據等角的餘角相等得到∠cde=∠adf，根據全等三角形的判定易得△dce≌△adf，即可得到結論；
（2）由△dce≌△adf，則s△dce=s△adf，於是四邊形decf的面積=s△acd，由而ab=2可得cd=da=1，根據三角形的面積公式易求得s△acd，從而得到四邊形decf的面積．解答：解：（1）連cd，如圖，
∵d為等腰rt△abc斜邊ab的中點，
∴cd平分∠acb，cd⊥ab，∠a=45°，cd=da，
∴∠bcd=45°，∠cda=90°，
∵∠dm⊥dn，
∴∠edf=90°，
∴∠cde=∠adf，
在△dce和△adf中，
∠dce=∠daf dc=da ∠cde=∠adf ，
∴△dce≌△adf，
∴de=df；
（2）∵△dce≌△adf，
∴s△dce=s△adf，
∴四邊形decf的面積=s△acd，
而ab=2，
∴cd=da=1，
∴四邊形decf的面積=s△acd=1 2 cdda=1 2 ．點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前後兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等於旋轉角．也考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．
全等三角形難題
1 已知 如圖，四邊形abcd中，ac平分bad，ceab 於e，且b d 180，求證 ae ad be 2 如圖17所示，在 aob的兩邊上擷取ao bo，oc od，連線ad bc交於點p，連線op，則下列結論正確的是 apc bpd ado bco aop bop ocp odp abcd ...
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14 已知 bd ce是 abc的高，點f在bd上，bf ac，點g在ce的延長線上，cg ab，求證 ag af 16 如圖，已知e是正方形abcd的邊cd的中點，點f在bc上，且 dae fae 求證 af ad cf 18 如圖所示，已知 abc中，ab ac，d是cb延長線上一點，adb 6...
全等三角形
全等三角形 第一節 題型一 全等三角形對應邊相等 如圖所示，abc繞點a旋轉就能與 ade完全重合，則它們的對應角是 對應邊是 第1題第3題第4題第5題 已知 abc a b c abc的周長為20，a b 8，b c 5，則ac等於a 5 b 6 c 7 d 8 如圖所示，acf dbe，e f ...