特殊的平行四邊形相關知識歸納和常見題型精講
附:矩形菱形正方形的性質和判定總表
菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
【強調】 菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等．
菱形的性質
性質1 菱形的四條邊都相等；
性質2 菱形的對角線互相平分，並且每條對角線平分一組對角；
菱形的判定
菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
注意此方法包括兩個條件：（1）是乙個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直．
菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形．
例1 已知：如圖，四邊形abcd是菱形，f是ab上一點，df交ac於e．
求證：∠afd=∠cbe．
例2已知：如圖abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad、bc分別交於e、f．
求證：四邊形afce是菱形．
例3、如圖，在 abcd中，o是對角線ac的中點，過點o作ac的垂線與邊ad、bc分別交於e、f，求證：四邊形afce是菱形.
例4、已知如圖，菱形abcd中，e是bc上一點，ae 、bd交於m，
若ab=ae,∠ead=2∠bae。求證：am=be。
例5． （10湖南益陽）如圖，在菱形abcd中，∠a=60°,=4,o為對角線bd的中點，過o點作oe⊥ab，垂足為e．
(1)求線段的長．
例6、（2008四川自貢）如圖，四邊形abcd是菱形，de⊥ab交ba的延長線於e，df⊥bc，交bc的延長線於f。請你猜想de與df的大小有什麼關係？並證明你的猜想
例7、（2008山東煙台）
如圖，菱形abcd的邊長為2，bd=2，e、f分別是邊ad，cd上的兩個動點，且滿足ae+cf=2.
（1）求證：△bde≌△bcf；
（2）判斷△bef的形狀，並說明理由；
（3）設△bef的面積為s，求s的取值範圍.
正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：
①有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形）
②有乙個角是直角的平行四邊形 （矩形）
正方形不僅是特殊的平行四邊形，並且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定義：有一組鄰邊相等並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸；
因為正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質是它們性質的綜合，正方形的性質總結如下：
邊：對邊平行，四邊相等；
角：四個角都是直角；
對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．
注意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質．
正方形具有矩形的性質，同時又具有菱形的性質．
正方形的判定方法：
(1)有乙個角是直角的菱形是正方形；
(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形．
注意：1、正方形概念的三個要點：
（1）是平行四邊形；
（2）有乙個角是直角；
（3）有一組鄰邊相等．
2、要確定乙個四邊形是正方形，應先確定它是菱形或是矩形，然後再加上相應的條件，確定是正方形.
例1 已知：如圖，正方形abcd中，對角線的交點為o，e是ob上的一點，dg⊥ae於g，dg交oa於f．
求證：oe=of．
例2 已知：如圖，四邊形abcd是正方形，分別過點a、c兩點作l1∥l2，作bm⊥l1於m，dn⊥l1於n，直線mb、dn分別交l2於q、p點．
求證：四邊形pqmn是正方形．
例3、（2008海南）如圖，p是邊長為1的正方形abcd對角線ac上一動點（p與a、c不重合），點e在射線bc上，且pe=pb.
（1）求證：① pe=pd ； ② pe⊥pd；
（2）設ap=x, △pbe的面積為y.
① 求出y關於x的函式關係式，並寫出x的取值範圍；
② 當x取何值時，y取得最大值，並求出這個最大值.
[, , ]
梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底邊，其中長邊叫下底，短邊叫上底；也可以單純的認為上面的一條叫上底，下面一條叫下底。不平行的兩邊叫腰；夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。
一腰垂直於底的梯形叫直角梯形，兩腰相等的梯形叫等腰梯形。等腰梯形是一種特殊的梯形，其判定方法與等腰三角形判定方法類似。
等腰梯形的性質 1．等腰梯形的兩條腰相等
2．等腰梯形在同一底上的兩個底角相等
3．等腰梯形的兩條對角線相等
4．等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是上下底中點的連線所在直線
5．等腰梯形（這個非等腰梯形同理）的中位線（兩腰中點相連的線叫做中位線）等於上下底和的二分之一
.6梯形的中位線平行於兩底
判定1．一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形（一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形）
2．兩腰相等的梯形是等腰梯形
3．同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
4．有乙個內角是直角的梯形是直角梯形
5．對角線相等的梯形是等腰梯形．
6.梯形的中位線等於上底加下底和的一半，且平行於上底和下底。
例1．（2023年河南省）如圖，梯形abcd中，ad∥bc，ab=ad=dc，e為底邊bc的中點，且de∥ab，試判斷△ade的形狀，並給出證明．
例2：（2008深圳）如圖，在梯形abcd中，ab∥dc， db平分∠adc，過點a作ae∥bd，交cd的延長線於點e，且∠c＝2∠e．
（1）求證：梯形abcd是等腰梯形．
（2）若∠bdc＝30°，ad＝5，求cd的長．
例3、如圖，等腰梯形abcd中，ad∥bc，ad＝5，ab＝7，
bc＝12，求∠b的度數．
例4、在梯形abcd中，ab∥cd，，ab=2，bc=3，cd=1，e是ad中點，試判斷ec與eb的位置關係，並寫出推理過程。
例5、在菱形abcd中，對角線ac與bd相交於點o過ｄ點作de∥ac交ｂｃ的延長線於點ｅ.
（１）求△bde的周長；
（２）點ｐ為線段bc上的點，
連線po並延長交ad於點q.求證：bp=dq.
例6、已知梯形abcd中，ad∥bc，ad=2，bc=4，對角線ac=5，bd=3，試求此梯形的面積．
例6、梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc，對角線ac⊥bd，de⊥bc於e，ed=10.求ad+bc的值
例7、如圖，在梯形abcd中，ad ∥bc，ab=bc+ad，h是cd中點，試說明：bh⊥ah
例8、如圖，等腰梯形abcd中，ad∥bc，m、n分別是ad、bc的中點，e、f分別是bm、cm的中點。
（1）求證：四邊形menf是菱形；
（2）若四邊形menf是正方形，請探索等腰梯形abcd的高和底邊bc的數量關係，並證明你的結論。
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