八年級平行四邊形相關知識歸納
和常見題型精講
性質和判定總表
矩形菱形正方形的
[, , ]
矩形定義: 有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形或正方形).
矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，矩形也是軸對稱圖形，對稱軸是通過對邊中點的直線，有兩條對稱軸；
矩形的性質:(具有平行四邊形的一切特徵)
矩形性質1: 矩形的四個角都是直角．
矩形性質2: 矩形的對角線相等且互相平分．
如圖，在矩形abcd中，ac、bd相交於點o，由性質2有ao=bo=co=do=ac=bd．因此可以得到直角三角形的乙個性質：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
矩形的判定方法．
矩形判定方法1：對角錢相等的平行四邊形是矩形．
矩形判定方法2：有三個角是直角的四邊形是矩形．
矩形判定方法3：有乙個角是直角的平行四邊形是矩形．
矩形判定方法4： (4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．
例1已知：如圖 ，矩形 abcd，ab長8 cm ，對角線比ad邊長4 cm．求ad的長及點a到bd的距離ae的長．
例2 已知：如圖，矩形abcd中，e是bc上一點，df⊥ae於f，若ae=bc． 求證：ce＝ef．
例3．如圖，已知矩形abcd中，e是ad上的一點，f是ab上的一點，ef⊥ec，且ef=ec，de=4cm，矩形abcd的周長為32cm，求ae的長．
例4、如圖，在 abcd中，e為bc的中點，連線ae並延長交dc的延長線於點f．
(1)求證：ab=cf；
(2)當bc與af滿足什麼數量關係時，四邊形abfc是矩形，並說明理由．
思維訓練
例1. 試說明：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
分析：兩個相同的直角三角形可以拼成乙個矩形，故可以利用矩形的特徵來加以說明。
解：△abc為直角三角形，且為直角，點o為斜邊上的中點。以o為對稱中心，作△abc的中心對稱圖形△cda，則所得四邊形abcd，則abcd是平行四邊形，而且，所以abcd是矩形，而且b、o、d在一條直線上。
因為矩形的對角線互相平分。所以
bd=2bo。
又因為矩形的對角線相等，所以
ac=bd，
所以ac=2bo。
即直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
例2. 如圖所示，矩形abcd的兩條對角線相交於點o，，ab=4cm，求矩形對角線的長。
分析：矩形的對角線相等且互相平分，因此矩形的對角線將矩形分成了四個等腰三角形，再由特殊角我們就可以得到更特殊的三角形——等邊三角形。
解：因為矩形的對角線相等且互相平分，所以△abo是等腰三角形。又因為
所以所以△abo是等邊三角形
因為ab=4cm
所以ac=bd=2ab=8cm
例3. 如圖所示，平行四邊形abcd中，各內角的平分線分別相交於點e、f、g、h，試說明四邊形efgh是矩形。
答案：因為四邊形abcd是平行四邊形，所以
而af、bh分別是
所以，即由三角形的內角和定理知。
同理可得，
所以四邊形efgh是矩形。
剖析：題中已知四邊形abcd是平行四邊形，根據平行四邊形的特徵：兩組對邊分別平行，進而由平行便可得出相鄰的兩個角互補，再由角平分線的定義得到△aeb、△bhc、△cgd、△dfa都是直角三角形，因此四邊形efgh的四個角都是直角，便可判定它是矩形了。
例4. 如圖所示，已知矩形abcd的對角線ac、bd交於點o，過頂點c，作bd的垂線與的平分線相交於點e，交bd於g，求證：ac=ce。
分析：本題要證ac=ce，只須證如果過a作af垂直bd於f，則有af//ce，因而只須證即可，這可由ae是角平分線和而得到。
證明：過a作af垂直bd於f，因為
在直角△abd中，
菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
【強調】 菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等．
菱形的性質
性質1 菱形的四條邊都相等；
性質2 菱形的對角線互相平分，並且每條對角線平分一組對角；
菱形的判定
菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
注意此方法包括兩個條件：（1）是乙個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直．
菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形．
例1 已知：如圖，四邊形abcd是菱形，f是ab上一點，df交ac於e．
求證：∠afd=∠cbe．
例2已知：如圖abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad、bc分別交於e、f．
求證：四邊形afce是菱形．
例3、如圖，在 abcd中，o是對角線ac的中點，過點o作ac的垂線與邊ad、bc分別交於e、f，求證：四邊形afce是菱形.
例4、已知如圖，菱形abcd中，e是bc上一點，ae 、bd交於m，
若ab=ae,∠ead=2∠bae。求證：am=be。
例5． （10湖南益陽）如圖，在菱形abcd中，∠a=60°,=4,o為對角線bd的中點，過o點作oe⊥ab，垂足為e．
(1)求線段的長．
例6、（2008四川自貢）如圖，四邊形abcd是菱形，de⊥ab交ba的延長線於e，df⊥bc，交bc的延長線於f。請你猜想de與df的大小有什麼關係？並證明你的猜想
例7、（2008山東煙台）
如圖，菱形abcd的邊長為2，bd=2，e、f分別是邊ad，cd上的兩個動點，且滿足ae+cf=2.
（1）求證：△bde≌△bcf；
（2）判斷△bef的形狀，並說明理由；
（3）設△bef的面積為s，求s的取值範圍.
例5. 已知菱形的周長為20cm，兩個相鄰角的度數比為1：2，求較短的對角線長。
分析：菱形是四條邊都相等的四邊形，因此菱形的每條對角線都將它分成兩個等腰形三角形，再由特殊角可得到等邊三角形。
解：如圖所示，因為菱形的四條邊都相等且周長為20cm，所以菱形的邊長
ad=cd=5cm
所以△adc為等腰三角形
又因為，
且，所以，因此△adc為等邊三角形。
所以較短的對角線ac長度為5cm。
例6. 如圖所示，從菱形兩條對角線的交點分別向各邊引垂線，試說明，連線各垂足的四邊形是矩形。
答案：在菱形abcd中，ad//bc，
因為，所以
因為，所以n、o、m三點在同一條直線上（過一點，有且只有一條直線垂直於已知直線）。
同理，e、o、f三點也在同一條直線上
又因為四邊形abcd是菱形，所以。
而同理：oe=om，oe=on
所以on=om，oe=of，
所以四邊形emfn為平行四邊形。
所以oe+of=on+om，即ef=mn。
所以四邊形emfn為矩形。
剖析：本例中，已知菱形的兩條對角線的交點，實質上隱含的是菱形的四條角平分線的交點，再可根據角平分線的性質可得om=oe=on=of，從而可得出四邊形emfn是矩形。
例7. 如圖所示，在菱形abcd中，e、f分別是bc、cd上的點，且，求證：。
分析：觀察△abc與△acd，聯想菱形性質和這個已知條件，尋找它們的關係（△abc與△acd均為等邊三角形），從而得出ae=af的結論，得等邊△aef，從而可確定ae與af、bae與caf的大小關係。觀察、，聯想三角形外角的性質，就能得出的關係。
解：鏈結ac。
∴將△acf繞a點順時針旋轉60°必與△abe重合
例11. 如圖所示，在矩形abcd中，已知ad=8，ab=6，bd=10，p是ad邊上任一點，那麼的值為（ ）？為什麼？
思路點撥：分別求出pe、pf困難，△aod為等腰三角形，若聯想「到等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離的和等於腰上的高」這一性質，則問題迎刃而解。
解：鏈結op，做
例12. 如圖所示，在△abc中，，分別是的平分線，be和ad交於g，求證：gf//ac。
（湖北省荊州市中考題）
思路點撥：從角的角度證明困難，鏈結ef，在四邊形agfe的背景下思考問題，證明四邊形agfe為平行四邊形，證題的關鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形。
**（1）：
在△abf中，
，且交於點g
解（2）：鏈結ef
同證法（1）可得：ag=ae
∴四邊形agfe為平行四邊形
∴gf//ac。
引伸：證明四邊形agfe為菱形
∵可證出四邊形agfe為菱形
正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：
①有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形）
②有乙個角是直角的平行四邊形 （矩形）
正方形不僅是特殊的平行四邊形，並且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定義：有一組鄰邊相等並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸；
因為正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質是它們性質的綜合，正方形的性質總結如下：
邊：對邊平行，四邊相等；
角：四個角都是直角；
對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．
特殊平行四邊形知識歸納
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特殊平行四邊形知識歸納
特殊的平行四邊形 濟寧附中李濤 一 學習目標 二 知識梳理 1 性質 按邊 角 對角線三方面分類記憶 平行四邊形的性質此外 周長問題 面積問題 另外，由 平行四邊形兩組對邊分別相等 的性質，可推出下面的推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等 注 平行四邊形是一種特殊而又比較簡單的一類四邊形，但它有許多...
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...