九年級數學特殊的平行四邊形
一、教學目標
1、掌握菱形的性質定理及判定定理。
2、理解一些定理的證明方法，並能運用這些定理解決一些簡單的問題。
3、通過探索、猜想、證明的過程，進一步提高推理論證的能力。
4、能夠理順平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關係，熟練掌握這些四邊形的判定和性質定理，並能夠應用數學符號語言表述已知、求證、證明。
5、會熟練應用所學定理進行證明。體會證明中所運用的歸類、模擬、轉化等數學思想，通過綜合練習對證明的必要性有進一步的認識。
二、知識要點
1.菱形的性質定理：
定理：菱形的四條邊都相等。
定理：菱形的對角線互相垂直，並且每條對角線平分一組對角。
2.菱形的判定定理：
定理：四條邊都相等的四邊形是菱形。
定理：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
3.正方形的性質定理：
定理：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；
定理：正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。
4.正方形的判定定理：
定理：有乙個角是直角的菱形是正方形。
定理：對角線相等的菱形是正方形。
定理：有一組鄰邊相等的矩形
定理：對角線互相垂直的矩形
考點一：菱形的性質與判定
例1、已知：如圖，菱形abcd的對角線相交於o點
求證：ac⊥bd，ac平分∠bad和∠bcd，bd平分∠abc和∠adc
分析：先根據菱形鄰邊相等，再根據等腰三角形底邊上三線合一
證明：∵四邊形abcd是菱形
∴ab=ad，ob=od
∴ac⊥bd，ac平分∠bad
（等腰三角形的三線合一）
同理得：ac平分∠bcd
bd平分∠abc和∠adc
例2、已知：平行四邊形 abcd中，對角線ac ⊥bd於o點。
求證： abcd是菱形
分析：根據平行四邊形對角線互相平分的性質，又ac⊥bd，由線段垂直平分線定理可得平行四邊形abcd是菱形
證明：∵ abcd
∴ao=co
又∵ac⊥bd
∴ab=bc（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）
又∵abcd
∴abcd是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）
考點二：正方形的性質及判定
例3、如圖，四邊形abcd是正方形，延長bc至點e，使ce=ac，鏈結ae，交cd於f，你能求出∠afc的度數嗎？
分析：要求出∠afc的度數，可以先求∠acd和∠cae的度數，在正方形中，ac是對角線，所以∠acd=45°，ac=ce∠cae=∠aec，ad∥be∠aec=∠dae，
∴∠dae=∠cae=×45°
解：∵正方形abcd
∴∠bad=90
∠dac=∠bad=×90°=45°
∠d=90°，ad∥bc
∵ad∥bc
∴∠dae=∠e
∵ce=ac
∴∠cae=∠e
∴∠dae=∠cae=×45°=22.5°
∴∠afc=∠dae+∠d=22.5°+90°=112.5°
例4、如圖，正方形abcd中，e、f、g、h分別為四條邊上的點，並且ae=bf=cg=dh。
求證：四邊形efgh為正方形。
分析：一般的要證乙個四邊形是正方形，首先證明它是菱形，再證明這個菱形有乙個角是直角即可；或者先證這個四邊形是矩形，再證明這個矩形的一組鄰邊相等即可
證明：如圖，
∵ab=bc=cd=da，ae=bf=cg=dh
∴eb=fc=gd=ha
∵∠a=∠b=∠c=∠d=90°
∴△aeh≌△bfe≌△cgf≌△dhg
∴he=ef=fg=gh，∠1=∠2
∴四邊形efgh是菱形。
∵∠1+∠3=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠4=90°
∴四邊形efgh是正方形。
三、從四邊形到正方形的遞進式關係出發，以特殊四邊形的判定定理為線索，進行複習回顧。
四、重點難點
重點：四邊形、平行四邊形、菱形，矩形，正方形之間的關係。
難點：四邊形、平行四邊形、菱形，矩形，正方形之間的關係的運用。
考點三：綜合應用
例5、已知直角梯形abcd中ad∥bc，∠b=90°，ab=8，ad=24，bc=26，點p從a點出發，沿ad邊以1的速度向點d運動，點q從點c開始沿cb邊以3的速度向點b運動，p、q分別從點a、c同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t。
（1）當t為何值時，四邊形pqcd為平行四邊形？
（2）當t為何值時，四邊形pqcd為等腰梯形？
分析：（1）要證明四邊形pqcd為平行四邊形，已知pd∥cq，只要能證明pd=cq就行了
（2）要證明四邊形pqcd為等腰梯形，已知pd∥cq，只要能證明pq=cd且不平行或證明同一底上的兩個角相等就行了。過p、d作pf⊥bc、de⊥bc，垂足分別為f、e，如果∠c=∠pq』f，則四邊形pqcd就是等腰梯形了。
證明：（1）∵pd=ad－ap
pd=24－1×t
cq=pd
24－t=3t
t=6當t=6時cq=pd
cq∥pd（已知）
∴四邊形pqcd為平行四邊形
（2）過p、d作pf⊥bc、de⊥bc，垂足分別為f、e
∵ab是直角梯形的直角邊
∴ab∥pf∥de，且ab=pf=de=8
當△cde≌△q』pf時，ec=fq』
∵ec=bc－ad=26－24=2
∴ec=fq』=2
ap－2=bq』
ap－2=bc－cq』
即：1×t－2=26－3t
4t=28
t=7∴當t=7時，四邊形pq』cd為等腰梯形
例6、如圖，在正方形中，e是ad邊的中點，bd與ce交於點f，試說明：．
分析：要說明，只需說明，亦即說明，又，所以只需說明．
解：∵，
∴≌，∴．
又∵，∴≌，所以．
∴，∴，
即．【方法總結】
通過探索、猜想、證明與轉化的數學思想，運用分析法解決問題，分析法就是從問題入手，要說明什麼，只需說明什麼，逐步推理，直至得到已成立的結論或易於得出的結論，即執果索因．
【測試】
1. 在平行四邊形abcd中，∠a：∠b：∠c：∠d的值可以是（ ）
a. 1：2：
3：4 b. 3：
4：4：3 c.
3：3：4：
4 d. 3：4：
3：42. 若菱形的周長為16cm，兩相鄰角的度數之比為1：2，則菱形的面積是（ ）
a. b. c. d.
3. 順次連線菱形各邊中點所得的四邊形一定是（ ）
a. 等腰梯形 b. 正方形 c. 平行四邊形 d. 矩形
4. 如圖，正方形abcd的邊長為2，點e在ab邊上，四邊形efgb也是正方形，設△afc的面積為s，則（ ）
a. s=2b. s=2.4c. s=4d. s與be長度有關
5. 如圖，在矩形abcd中，對角線ac，bd交於點o，已知∠aod=120°，ab=2.5，則ac的長為
6. 三角形三條中位線所圍成的三角形的面積是原三角形面積的
7. 已知平行四邊形的周長為80cm且較長邊與較短邊之差為8cm，則這個平行四邊形相鄰兩邊的長分別是
8.如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，db平分∠adc，過點a作ae∥bd，交cd的延長線於點e，且∠c=2∠e.
（1）求證：梯形abcd是等腰梯形；
（2）若∠bdc=30°，ad=5，求cd的長
9. 如圖，四邊形abcd是矩形，e是ab上一點，且de=ab，過點c作cf⊥de，垂足為f。
（1）猜想ad與cf的大小關係；
（2）請證明上面的結論。
平行四邊形及特殊平行四邊形
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