座標系裡的幾何圖形
將幾何圖形置於座標系，是為了用代數的方法研究圖形，因此座標系裡是「數形結合」的大演場，是「幾何與代數綜合」的新舞台。現在，我們就來研究這類問題的思考與解法特徵。
座標系裡的幾何圖形問題又可分三類：
ⅰ、座標系裡的基本幾何圖形；
ⅱ、座標系裡的幾何圖形引入動點；
ⅲ、座標系裡的幾何圖形實施交換。
※這三類問題圍繞的共同核心都是「求點的座標」與「求線段的長度」，解決的共同依據是「幾何圖形的性質」（包括變換的性質）和「幾何計算」（特別是構造與解直角三角形。）
一、座標系裡的基本幾何圖形
例1 如圖，已知邊長為1的正方形在直角座標系中，b，c兩點在第二象限內，與軸的夾角為，那麼c點的座標是b點的座標是
【觀察與思考】 去構造合適的直角三角形，如圖那樣作輔助線，可由求得點c的座標，由和求得點b的座標。
解：如圖所示，作軸於點m，在
中，，c點的座標為。
又設ab與軸的交點為e，軸於n。
在中，。
在中，。點b在第二象限， b點的座標為）。
【說明】從本題可以看出：
ⅰ、求點的座標是座標系裡幾何圖形問題的核心，而求點的座標的基本過程是分這樣的兩步走：首先，選定或構造恰當的直角三角形，通過解相關的直角三角形，求得有關的線段的長；然後根據點所在的象限，將有關線段的長轉換為點的座標。
ⅱ、座標系裡圖形問題解法的優或劣，決定因素表現在對相關直角三角形的選取和構造上。
例2 如圖，在平面直角座標系中，以點為圓心，以長為半徑作⊙m交軸於a，b兩點，交軸於c，d兩點，鏈結並延長交⊙m於p點，鏈結pc交軸於e。
（1）求出cp所在直線的解析式；
（2）鏈結ac，求的面積。
【觀察與思考】對於（1），要求cp所在直線的解析式，只要求出c點和p點的座標即可。
對於（2），要求的面積，注意，則可歸結為去求線段ac，pc的長度。當然更巧妙的方法是在知道的情況下，轉為去求等邊三角形的面積。
解：（1）鏈結是⊙m的直徑，。
是⊙m的直徑，且垂直弦ab，平分弦ab。
在中，。
又點的座標為。
又知，設直線cp的解析式為，則
解得： 直線cp的解析式為。
（2）在中，
又為等邊三角形，且邊，。而。
【說明】ⅰ、本例進一步說明，座標系裡圖形式問題，都是以求點的座標和線段的長度為核心，為基礎的。
ⅱ、要善於抓住背景圖形的特徵，如本題的第（2）問，正是利用了為等邊三角形這一特殊點，從而使計算簡化了。
例3 如圖（1），在平面直角座標系中，的斜邊ab在軸上，頂點c在軸的負半軸上，點p**段上，且的長是方程的兩根。
（1）求p點的座標；
（2）求ap的長；
（3）在軸上是否存在點q，使以點a，c，p，q為頂點的
四邊形是梯形？若存在，請求出點q的座標；若不存在，請
說明理由。 （1）
【觀察與思考】對於（1），只要求出題目所給方程的根，則易知p點的座標；
對於（2），由（1）已求得p點的座標，再由的長度和，可由中推得a點的座標，進而可得ap的長；
對於（3）實際上是由p點作與ac的平行的直線和軸的交點q，或由c點作與ap平行的直線和軸的交點q，再依作法求q點的座標。
解：（1）解方程，得。
又，可知。得p點的座標為。 （1`）
（2）由（1）知，。又，
在中，。
。（3）如圖（1`），由圖上分析可知：當，且交軸於時，四邊形是梯形，或者，，且交軸於時，四邊形為梯形。
①若在軸上，且，則∽，
）。②若在軸上，且，則∽，
）。這就是說，當q的座標為（）時，四邊形acpq為梯形，而當q的座標為（）時，四邊形aqcp也為梯形。
【說明】1、可以看出，求點的座標和線段長都是座標系裡圖形問題的基礎，除了運用解直角三角形的方法之外，借助於相似三角形（特別是相似的直角三角形）也是常用的手段。
11、類似於本題中（3）這樣的問題，切要注意先在圖形上分析清楚，然後再去進行推導和計算，我們把它概括為「先在圖上分析、操作，再用代數的方法表示出來。」
二、座標系裡的圖形引入動點
例1 如圖（1），直角座標系中，已知點），），動點從點出發沿向終點運動，動點從點a出發沿ab向終點b運動，兩點同時出發，速度均為每秒1個單位，設從出發起運動了。
（1）求q點的座標；（用含的代數式表示）
（2）當為何值時，是乙個以ap為腰的等腰三角形？
【觀察與思考】對於（1），若作軸於m，作於n，可借助和的相似關係，匯出q點的座標來。
對於（2），可通過「等腰」（即線段相等）構造關於的方程來解決。
解：（1）如圖（1`），作軸於m ，作軸於n，在中，，在中，。
∽，。， （1`），。
點q的座標為）。
（2）見圖（1``），p點的座標為），其中。 （1``）
,，若是以ap為腰的等腰三角形，則有
①，即也即，得，從中解得。
②即，也即，得
解得（捨去），。
經檢驗可知，當或時，都是以ap為腰的等腰三角形。
【說明】1、本例說明，座標系裡的圖形與動點相關的問題，其基礎問題仍然是求點的座標和線段的長度，只是此時有關的量，可能要用與「運動」有關的數量的代數式來表示。
11、從本題解的過程可以看到，善於構造恰當的直角三角形，以及靈活恰當地實施「座標」與「線段長」之間的轉換，是落實解法的可靠保證。
例2 如圖（1），在直角座標系裡，已知點），），以線段ab為一直角邊在第一象限內作等腰直角三角形，其中，點）為座標系中的乙個動點。
（1）求的面積；
（2）證明不論取任何實數，的面積是乙個常數；
（3）要使得， ，求實數的值。
【觀察與思考】對於（1），只需求出線段ab的長度即可；
對於（2），容易知道動點），是在這條直線上，如圖（1`），而和軸是平行的，所以在中，邊上的高是確定不變的值。
對於（3），是由動點p決定的，從而是關於實數的函式，
令這個函式的值和相等，由該方程可解出相應的值，只是 （1`）
的計算需要找到好的落實方法。如圖（1``），設點n的座標
為（1，0），過點n作垂線軸的直線為（也即），p在上，
又設和ab交於點d，可知有。而後兩個
三角形面積易求。
解：（1）），），。
是以ab為直角邊的等腰直角三角形。
。（2）如圖（1`），設軸於h，則。
為定值。
（3）如圖（1``），設點），過點n且垂直於軸的直線為，則動點p在上。
設與ab交於點d，則由∽，得即。
即d點的座標為。
點b到pd（即直線）的距離為1，點a到pd的距離為。 （1``）
且線段pd的長度為。
當或時，均能使。
【說明】由本題可以看出，涉及動點構成的三角形的面積計算，其實和固定的點構成的三角形的面積計算一樣，主要是借助「底」和「高」兩個線段的計算來實現的。另外，有時需要像（3）的解的過程那樣，將乙個三角形的面積拆（或拼）成兩個（或幾個）更易計算的三角形面積。
例3 如圖，邊長為1的正方形的頂點為座標原點，點a在軸的正半軸上，點c在軸的正半軸上。動點d**段bc上移動（不與b，c重合），鏈結，過點d作，交邊ab於點e，鏈結oe。記cd的長為。
（1）當時，求直線de的函式表示式。
（2）如果記梯形的面積為s，那麼是否存在s的最大值？若存在，請求出這個最大值及此時的值；若不存在，請說明理由。
（3）當的算術平方根取最小值時，求點e的座標。
【觀察與思考】對於（1），只需求出d點的和e點的座標，這可以通過解和來實現。
對於（2），首先要求出s關於的函式關係式，然後再由函式的
性質和取值範圍看是否有最大值，而面積計算又歸結為有關線段
的計算。
對於（3），最小，實際上是oe的長最小，而oe又是的斜邊，且在這個三角形中，一直角邊oa為定值，因此，斜邊oe最小，就會使另一直角邊ae最小，進而使（面積）最小，也即梯形面積最大，這便和（2）的結論聯絡起來，解法也就找到了。
解：（1）易知∽。
，即得即e點的座標為（）。
設直線de的函式表示式為，直線經過兩點）和），得，。
直線de的函式表示式為。
（2）存在的最大值。∽，，即，。
。故時，s有最大值。
（3）在中， ，的算術平方根取最小值，也就是斜邊oe取最小值。oe也為的斜邊，在這個三角形中，當斜邊oe取最小值且一直角邊oa為定值時，另一直角邊ae達到最小值，於是的面積達到最小值，此時，梯形的面積達到最大值。
由（2）知，當時，梯形的面積達到最大值，此時取最小值，故所求e點的座標是）。
【說明】1、我們反覆強調，相似三角形和解直角三角形是「幾何計算」的兩**寶，本題的（1）和（2），都恰當地借助了三角形的相似關係。
11、「轉化」是數學方法的靈魂，在本題（3）的解法中，一系列的美妙轉化使看似複雜的問題獲得極為簡鍊的解法，讓人稱奇。
座標系裡的圖形引入動點，與非座標系裡的圖形引入動點研究的問題和解決的方法實質上是一樣的，只是動點的刻畫、問題的提出和結果表達，大都是以「座標」相關的形式出發並落實的。因此可以這樣說：座標系裡圖形引入動點，就是在非座標系裡圖形引入動點的基礎上再融合「座標法」的表示。
三、座標系裡的圖形變換
例1 如圖（1），在平面直角座標系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，點a在第二象限內，點b，點c在的負半軸上，。
（1）求c點的座標；
（2）如圖（2），將繞點c 按順時針方向旋轉30°到的位置，其中交直線於點，分別交直線，於點，則除外，還有哪幾對全等的三角形，請直接寫出答案；（不再另外新增輔助線）。
（3）在（2）的基礎上，將繞點c 按順時針方向繼續旋轉，當的面積為時，求直線ce的函式表示式。
（1） （2）
【觀察與思考】對於問題（1），只需解。
對於問題（2），如果看出整個圖形是以cf所在直線為軸為稱，則結論立得。
對於問題（3），先借助方程求出點e的座標，進而可求得ce的函式關係式，但要注意「交直線於點」這樣的交點應有兩個。
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