格點在圖形變換中的巧妙應用
蒲岐中學姚鵬飛
各位評委，老師，你們好：
我今天說題的題目是《格點在圖形變換中的巧妙應用》
我說題的內容定為以下幾個方面：
一、原題再現
本題出自樂清市2012學年第一學期九年級學業質量測評數學試卷的第20題，這是一道畫圖題。
如圖：格點△abc（頂點在小正方形的頂點處的三角形稱為格點三角形），在圖（1）、（2）、（3）的5×5網格中各畫乙個互不全等的格點三角形使它們都與△abc相似。
要求：①至少有乙個相似比為無理數；②有乙個面積最大的。
123）
二、題目立意
1、知識立意：本題主要考查：相似三角形的判定和性質尤其是相似三角形面積的比等於相似比的平方、無理數的定義、二次根式的化簡、勾股定理。
2、能力立意：考查學生通過二次根式的化簡確定相似三角形邊長、利用相似比確定面積的最值問題，由形想數，把面積最大問題轉化到「數」最大問題，即相似比最大，培養學生動手操作和分類討論分析問題、解決問題的能力。
3、構造意識和創新思維：根據相似比可以畫出相關三角形，如何引導學生運用格點的特性和勾股定理構造。
本題的條件：畫與△abc相似但互不全等的三個三角形，至少有乙個相似比為無理數，且有乙個面積最大的。
隱含條件：△abc的三邊長需要通過勾股定理求出，且5×5的網格中邊長最大為。面積最大即相似比最大，因此相似比是解決本題的切入點。
學生已經學習了相似三角形的判定和性質，但不一定能想到用相似三角形相似比和面積比的關係來解題，並且如何選取合適的相似比，能夠讓線段在格點中畫出來，需要學生根據二次根式化簡的結果以及勾股定理來確定。
三、背景出處
（原型題）下列四幅圖中與原圖中的三角形相似的是（ ）
abc d
本題是對課本練習、課外習題的拓展延伸，此題在相似三角形的判定研究章節均有類似題型涉及（原型題）。條件、解題方法基本相同，只是進行了不同程度的改編。
本題涉及相似三角形的判定和性質，無理數的定義、二次根式的化簡、勾股定理。研究此題有助於培養學生運用所學知識解決實際問題的能力，畫圖需要一定的動手操作能力和大局觀。
四、解題策略
1、理解題意：格點三角形、互不全等但相似、無理數、面積最大等
2、求出△abc的三邊長分別為，，，（認識原三角形中還有乙個特殊角45度），根據三邊長所以可以確定相似比
①相似比為，三邊長分別為，2，
②相似比為，三邊長分別為2，，
③相似比為，三邊長分別為，，5
④相似比為，三邊長分別為，，
①相似比為 ②相似比為 ③相似比為 ④相似比為
④必選，其他三個選二個即可。
（面積最大問題）是否可以改變設問：你能畫出幾個這樣的相似三角形？哪個三角形面積最大，為什麼？逆向思考得出面積最大也就是相似比最大。
思考;最大面積如何求：相似性質、面積和差問題
反思我們平時教學中應該引導學生如何尋求解決問題的切入點，如何引導學生發現問題、提出問題、如何培養學生的創新思維等
五、思想方法
本題涉及分類討論、數形結合、轉化等思想方法，將乙個畫相似三角形的幾何作圖題轉化為通過二次根式化簡求三邊的代數計算問題，根據化簡的結果以及勾股定理畫出三角形的邊長，分類討論相似比，找出合適的情況畫圖。
六、引申拓展
變式一：1、求_______
2、求ac邊上的高
3、畫乙個與它相似但不全等，且周長最大的三角形。
本題運用三角函式、三角形等積法求高，相似三角形的性質等知識點。
變式二：1、畫出△abc繞點a逆時針旋轉90°後的圖形
2、求點c經過的路徑長
3、求bc邊掃過的面積
本題考查旋轉變換、弧長及扇形面積計算公式、割補法求面積等。
變式三：將格點變為6×6，則還有一種情況，學生在畫面積最大的時候，可能只畫出相似比為3的情況，但是它不是面積最大的。
設計本題主要是考查學生分類討論，全面分析問題的能力。
本題還以做一些平移、軸對稱、位似等變換方面的拓展，加強學生動手操作能力的訓練。還可以再網格中建立直角座標系，拓展到函式背景。
七、小結反思：
通過本題的拓展變式，啟發學生思考，體現了近年來中考試題 「追根溯源，回歸課本」,「源於課本，高於課本」的理念,因此我們在中考複習中應當充分重視教材,研究教材,汲取教材的營養價值,發揮課本的示範功能。
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