北京市重點中學2015-2016學年度第二學期初三數學中考複習
《圖形變換》複習建議
平移、軸對稱和旋轉是幾何變換中的基本變換. 通過平移、軸對稱、旋轉變換可以使複雜圖形簡單化、一般圖形特殊化, 分散條件集中化. 從圖形變換的角度思考問題, 可以整體把握圖形的性質, 解決問題的思路更加簡明、清晰.
當圖形運動變化的時候, 從運動變換的角度分析圖形, 更容易發現不變數和特殊圖形.
一、2023年《考試說明》的要求
二、圖形變換在近年中考中的呈現方式
顯性: 題目以圖形變換的語言敘述或圖形本身具有變換的特徵.
隱性: 解決問題時需利用圖形變換的觀點分析和思考, 並能適當新增輔助線構造所需圖形.
三、對圖形變換的認識過程
1. 掌握圖形變換的概念和性質;
2. 對已學圖形和常用輔助線的再認識:
(1) 從圖形的構成和圖形特點分析圖形的軸對稱性、中心對稱和旋轉對稱性.
(2) 從圖形變換的角度分析新增輔助線後構造出的圖形性質.
3. 掌握基本輔助線:
(1) 中點、中線——中心對稱——倍長中線——中位線
(2) 等腰三角形、角平分線、垂直平分線——軸對稱——截長補短;
(3) 平行四邊形、梯形——平移;
(4) 正多邊形、共端點的等線段——旋轉;
4. 利用圖形變換的觀點分析和思考問題並能適當新增輔助線構造特殊圖形.
5. 用變換的性質解決座標系中的圖形變換問題, 用變換的觀點研究函式的平移和對稱.
四、複習建議
1. 基本概念明晰
平移、軸對稱、旋轉都是全等變換, 只改變圖形的位置, 不改變圖形的形狀和大小.
由於變換方式的不同, 故變換前後具有各自的性質.
(1) 平移、軸對稱、旋轉
(2) 旋轉與中心對稱
中心對稱是一種特殊的旋轉(旋轉180°), 滿足旋轉的性質, 由旋轉的性質可以得到
中心對稱性質.
2. 三種變換之間的一些聯絡.
①連續兩次對稱軸平行的軸對稱變換可實現一次平移.
②以兩垂直直線為對稱軸, 連續做軸對稱變換可實現中心對稱變換.
③以兩相交直線為對稱軸, 連續做軸對稱變換可實現旋轉變換.
例: 已知△abc, 直線pq、pr, 作△abc關於pq的對稱圖形△a'b'c', 再作△a'b'c'關於pr的對稱圖形△a''b''c'', 則△abc與△a''b''c''的關係是以p為中心將△abc旋轉2∠qpr得到△a''b''c'' . 由此可知, 將乙個圖形關於兩條相交直線軸對稱兩次, 則可得到原圖形關於兩直線交點的旋轉兩倍夾角後的圖形.
3. (1) 常見的平移有: 平移梯形的腰、對角線、高、平行四邊形等.
(2) 涉及到「對稱」均可考慮對稱變換.
如沿等腰三角形的底邊上的高翻摺, 沿角的平分線翻摺等.
(3) 常用到旋轉的有繞等邊三角形的乙個頂點旋轉60, 繞正方形的乙個頂點旋轉90、
繞等腰三角形的頂點旋轉, 旋轉角等於等腰三角形的頂角等.
五、專題複習
平移變換
1. (2011湖北黃岡) 如圖, 把rt△abc放在直角座標系內, 其中
∠cab=90°, bc=5, 點a、b的座標分別為(1, 0) 、(4, 0) ,
將△abc沿x軸向右平移, 當點c落在直線y=2x6上時, 線段
bc掃過的面積為( c )
a. 4b. 8 c. 16 d. 8
2. 如圖, 在梯形abcd中, ad∥bc, ∠b=90°, ∠c=45°, ad=1, bc=4,
e 為ab中點, ef //dc交bc於點f, 求ef的長．
3. (2007北京) 如圖, 已知△abc.
(1) 請你在bc邊上分別取兩點d, e(bc的中點除外) , 鏈結ad, ae, 寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應條件, 並表示出面積相等的三角形;
(2) 請你根據使(1) 成立的相應條件, 證明ab+ac > ad+ae.
4. 如圖, 在rt△abc中, ad=bc, cd=be. 求∠boe的度數? 45
軸對稱變換
●軸對稱計算．
5. (2014懷柔二模) 如圖(a) , 有一張矩形紙片abcd, 其中ad=6cm, 以ad為直徑的半圓, 正好與對邊bc相切,將矩形紙片abcd沿de摺疊, 使點a落在bc上, 如圖(b), 則半圓被覆蓋部分(陰影部分) 的面積為________.
6. (2012江蘇南京) 如圖, 菱形紙片abcd中,
∠a=60, 將紙片摺疊, 點a、d分別落在a'、d' 處,
且a'd' 經過b, ef為摺痕, 當d' fcd時,的
值為( a )
a. bc. d.
7. (1) 如圖, 在直角座標系中, 將矩形oabc沿ob對折, 使點a落在點處, 若oa =,
, 則點a' 的座標是多少? (,)
(2) 如圖, 把矩形紙片oabc放入平面直角座標系中, 使oa、oc分別落在x軸、y軸上,
鏈結ob, 將紙片oabc沿ob摺疊, 使點a落在a' 的位置, 若ob =, ,
則點a' 的座標是多少?
●最短路徑問題
基本圖形已經歸納總結在總複習書中
8.(2010天津)在平面直角座標系中, 矩形的頂點o在座標原點, 頂點a、b分別在x軸、
y軸的正半軸上, , , d為邊ob的中點.
(ⅰ) 若為邊上的乙個動點, 當△的周長最小時, 求點的座標; (1, 0)
(ⅱ) 若、為邊上的兩個動點, 且, 當四邊形的周長最小時,
求點、的座標. (, 0), (, 0)
9. 如圖1, 已知等邊△abc的邊長為1, d、e、f分別是ab、bc、ac邊上的點(均不與點a、b、c重合) , 記△def的周長為.
(1) 若d、e、f分別是ab、bc、ac邊上的中點, 則=_____;
(2) 若d、e、f分別是ab、bc、ac邊上任意點, 則的取值範圍是 .≤ p < 3
小亮和小明對第(2) 問中的最小值進行了討論, 小亮先提出了自己的想法: 將△abc以ac邊為軸翻摺一次得, 再將以為軸翻摺一次得, 如圖2所示. 則由軸對稱的性質可知, , 根據兩點之間線段最短, 可得.
老師聽了後說: 「你的想法很好, 但的長度會因點d的位置變化而變化, 所以還得不出我們想要的結果.」小明接過老師的話說:
「那我們繼續再翻摺3次就可以了」.請參考他們的想法, 寫出你的答案.
●軸對稱證明題．
10. (2012西城)已知: 在如圖1所示的銳角三角形abc中, ch⊥ab於點h, 點b關於直線ch的對稱點為d, ac邊上一點e滿足∠eda=∠a, 直線de交直線ch於點f．
(1) 求證: bf∥ac;
(2) 若ac邊的中點為m, 求證:;
(3) 當ab=bc時(如圖2) , 在未新增輔助線和其它字母的條件下, 找出圖2中所有與be相等的線段, 並證明你的結論．
旋轉變換
●旋轉變換的常見應用
(一) 以等邊三角形為背景的旋轉問題
11.如圖, c為bd上一點,分別以bc, cd為邊向同側作等邊△abc與△ecd, ad, be相交於點m.
**線段be和ad的數量關係和位置關係. 在圖中你還發現了什麼結論?
②當△ecd繞點c在平面內順時針轉動到如圖所示的位置時, 線段be和ad有何關係.
在轉動的過程中, 特別是在一些特殊的位置, 你還會發現什麼結論? 有哪些結論是不隨圖形位置的變化而改變的呢?
③如圖, a、d、e在一直線上, △abc、△cde是等邊三角形, 若be=15cm, ae=6cm,
求cd的長度及∠aeb的度數. 9cm, 60°
12. 如圖, d是等邊△abc內一點, 將△adc繞c點逆時針旋轉, 使得a、d兩點的對應點分別為b、e, 則旋轉角為_60_, 圖中除△abc外, 還有等邊三角形是_△dec __.
13. 已知e為正△abc內任意一點. 求證: 以ae、be、ce為邊可以構成乙個三角形.
若∠bec=113, ∠aec=123, 求構成三角形的各角度數. 63, 53, 64
14. 如圖, △abc是等邊三角形, bm = 2, cm = 3, 求am的最大值、最小值. 5, 1
(二) 以正方形或等腰直角三角形為背景的旋轉問題
15. 如圖①, b,c,e是同一直線上的三個點, 四邊形abcd與四邊形cefg都是正方形.
連線bg,de.
(1) **bg與de之間的大小關係, 並證明你的結論;
(2) 當正方形cefg繞點c在平面內順時針轉動到如圖②所示
的位置時, 線段bg和ed有何關係? 在轉動的過程中, 特別是在一些特殊的位置, 你還會發現什麼結論? 有哪些結論是不隨圖形位置的變化而改變的呢?
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