2023年北京市高階中等學校招生考試
數學試卷
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有乙個．
1．4月24日是中國航天日，2023年的這一天，我國自行設計、製造的第一顆人造地球衛星「東方紅一號」成功發射，標誌著中國從此進入了太空時代，它的執行軌道，距地球最近點439 000公尺．將439 000用科學記數法表示應為
（ab）
（cd）
2．下列倡導節約的圖案中，是軸對稱圖形的是
（a） （b） （c） （d）
3．正十邊形的外角和為
（a）180° （b）360° （c）720° （d）1440°
4．在數軸上，點a，b在原點o的兩側，分別表示數a，2，將點a向右平移1個單位長度，得到點c．若co=bo，則a的值為
（a）﹣3 （b）﹣2 （c）﹣1 （d）1
5．已知銳角∠aob
如圖，（1）在射線oa上取一點c，以點o為圓心，oc長為半徑作，交射線ob於點d，連線cd；
（2）分別以點c，d為圓心，cd長為半徑作弧，交於點m，n；
（3）連線om，mn．
根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是
（a）∠com=∠cod （b）若om=mn，則∠aob=20°
（c）mn∥cd （d）mn=3cd
6．如果，那麼代數式的值為
（a）﹣3 （b）﹣1 （c）1 （d）3
7．用三個不等式，，中的兩個不等式作為題設，餘下的乙個不等式作為結論組成乙個命題，組成真命題的個數為
（a）0 （b）1 （c）2 （d）3
8．某校共有200名學生，為了解本學期學生參加公益勞動的情況，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）等資料，以下是根據資料繪製的統計圖表的一部分．
下面有四個推斷：
①這200名學生參加公益勞動時間的平均數一定在24.5-25.5之間
②這200名學生參加公益勞動時間的中位數在20-30之間
這200名學生中的初中生參加公益勞動時間的中位數一定在20-30之間
這200名學生中的高中生參加公益勞動時間的中位數可能在20-30之間
所有合理推斷的序號是
（ab）
（cd）
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．若分式的值為0，則的值為.
10．如圖，已知△abc，通過測量、計算得△abc的面積約為cm2.（結果保留一位小數）
11．在如圖所示的幾何體中，其三檢視中有矩形的是.（寫出所有正確答案的序號）
12．如圖所示的網格是正方形網格，則°（點a，b，p是網格線交點）.
13．在平面直角座標系xoy中，點a（a，b）（a＞0，b＞0）在雙曲線上．點a關於x軸的對稱點b在雙曲線上，則的值為.
14．把圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為．
15．小天想要計算一組資料92，90，94，86，99，85的方差．在計算平均數的過程中，將這組資料中的每乙個數都減去90，得到一組新資料2，0，4， 4，9， 5．記這組新資料的方差為，則. (填「」，「」或「」)
16．在矩形abcd中，m，n，p，q分別為邊ab，bc，cd，da上的點（不與端點重合）．
對於任意矩形abcd，下面四個結論中，
存在無數個四邊形mnpq是平行四邊形；
存在無數個四邊形mnpq是矩形；
存在無數個四邊形mnpq是菱形；
至少存在乙個四邊形mnpq是正方形．
所有正確結論的序號是．
三、解答題（本題共68分，第17-21題，每小題5分，第22-24題，每小題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每小題7分）
解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17．計算：.
18．解不等式組：
19．關於x的方程有實數根，且m為正整數，求m的值及此時方程的根．
20．如圖，在菱形abcd中，ac為對角線，點e，f分別在ab，ad上，be=df，連線ef．
（1）求證：ac⊥ef；
（2）延長ef交cd的延長線於點g，連線bd交ac於點o，若bd=4，tang=，求ao的長．
21．國家創新指數是反映乙個國家科學技術和創新競爭力的綜合指數．對國家創新指數得分排名前40的國家的有關資料進行收集、整理、描述和分析．下面給出了部分資訊：
a．國家創新指數得分的頻數分布直方圖（資料分成7組：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．國家創新指數得分在60≤x＜70這一組的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40個國家的人均國內生產總值和國家創新指數得分情況統計圖：
d．中國的國家創新指數得分為69.5.
（以上資料**於《國家創新指數報告（2018）》）
根據以上資訊，回答下列問題：
（1）中國的國家創新指數得分排名世界第；
（2）在40個國家的人均國內生產總值和國家創新指數得分情況統計圖中，包括中國在內的少數幾個國家所對應的點位於虛線的上方．請在圖中用「」圈出代表中國的點；
（3）在國家創新指數得分比中國高的國家中，人均國內生產總值的最小值約為萬美元；（結果保留一位小數）
（4）下列推斷合理的是．
①相比於點a，b所代表的國家，中國的國家創新指數得分還有一定差距，中國提出「加快建設創新型國家」的戰略任務，進一步提高國家綜合創新能力；
②相比於點b，c所代表的國家，中國的人均國內生產總值還有一定差距，中國提出「決勝全面建成小康社會」的奮鬥目標，進一步提高人均國內生產總值．
22．在平面內，給定不在同一直線上的點a，b，c，如圖所示．點o到點a，b，c的距離均等於a（a為常數），到點o的距離等於a的所有點組成圖形g，∠abc的平分線交圖形g於點d，連線ad，cd．
（1）求證：ad=cd；
（2）過點d作deba，垂足為e，作dfbc，垂足為f，延長df交圖形g於點m，連線cm．若ad=cm，求直線de與圖形g的公共點個數．
23．小雲想用7天的時間背誦若干首詩詞，背誦計畫如下：
①將詩詞分成4組，第i組有首，i =1，2，3，4；
②對於第i組詩詞，第i天背誦第一遍，第（）天背誦第二遍，第（）天背誦第三遍，三遍後完成背誦，其它天無需背誦， 1，2，3，4；
③每天最多背誦14首，最少背誦4首．
解答下列問題：
（1）填入補全上表；
（2）若，，，則的所有可能取值為；
（3）7天後，小雲背誦的詩詞最多為首．
24．如圖，p是與弦ab所圍成的圖形的外部的一定點，c是上一動點，連線pc交弦ab於點d．
小騰根據學習函式的經驗，對線段pc，pd，ad的長度之間的關係進行了**．
下面是小騰的**過程，請補充完整：
（1）對於點c在上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段pc，pd，ad的長度的幾組值，如下表：
在pc，pd，ad的長度這三個量中，確定的長度是自變數，的長度和的長度都是這個自變數的函式；
（2）在同一平面直角座標系xoy中，畫出（1）中所確定的函式的圖象；
（3）結合函式圖象，解決問題：當pc=2pd時，ad的長度約為cm．
25. 在平面直角座標系xoy中，直線l：（）與直線，直線分別交於點a，b，直線與直線交於點c．
（1）求直線與軸的交點座標；
（2）橫、縱座標都是整數的點叫做整點．記線段ab，bc，ca圍成的區域（不含邊界）為w．
當時，結合函式圖象，求區域w內的整點個數；
若區域w內沒有整點，直接寫出的取值範圍．
26．在平面直角座標系xoy中，拋物線與y軸交於點a，將點a向右平移2個單位長度，得到點b，點b在拋物線上．
（1）求點b的座標（用含a的式子表示）；
（2）求拋物線的對稱軸；
（3）已知點p（，），q（2,2）．若拋物線與線段pq恰有乙個公共點，結合函式圖象，求a的取值範圍．
27．已知∠aob=30°，h為射線oa上一定點，，p為射線ob上一點，m為線段oh上一動點，連線pm，滿足∠omp為鈍角，以點p為中心，將線段pm順時針旋轉150°，得到線段pn，連線on．
（1）依題意補全圖1；
（2）求證：∠omp=∠opn；
（3）點m關於點h的對稱點為q，連線qp．寫出乙個op的值，使得對於任意的點m總有on=qp，並證明．
28．在△abc中，d，e分別是△abc兩邊的中點，如果上的所有點都在△abc的內部或邊上，則稱為△abc的中內弧．例如，下圖中是△abc的一條中內弧．
（1）如圖，在rt△abc中，，d，e分別是ab，ac的中點．畫出△abc的最長的中內弧，並直接寫出此時的長；
（2）在平面直角座標系中，已知點a（0,2），b（0,0），c（4t，0）（t＞0），在△abc中，d，e分別是ab，ac的中點．
若，求△abc的中內弧所在圓的圓心p的縱座標的取值範圍；
若在△abc中存在一條中內弧，使得所在圓的圓心p在△abc的內部或邊上，直接寫出t的取值範圍．
2023年北京市中考數學答案
一. 選擇題.
二. 填空題.
9. 110. 測量可知 1112. 45°
13. 014. 1215. =
16. ①②③
三. 解答題.
17．【答案】
18．【答案】
19.【答案】m=1，此方程的根為
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