2013 年北京市高階中等學校招生考試
數學試卷
學校姓名准考證號
一、選擇題（本題共 32 分，每小題 4 分） 下面各題均有四個選項，其中只有一．個．是符合題意的.
1．在《關於促進城市南部地區加快發展第二階段行動計畫（2013-2015）》中，北京市提出了共計約 3 960 億元的投資計畫，將 3 960 用科學記數法表示應為
a． 39.6 102
2． - 3 的倒數是
4a． 4
3b． 3.96 103
b． 3
4c． 3.96 104
c． - 3
4d． 0.396 104
d． - 4
33．在乙個不透明的口袋中裝有 5 個完全相同的小球，把它們分別標號為 1，2，3，4，5， 從中隨機摸出乙個小球，其標號大於 2 的概率為
a． 1
5b． 2
5c． 3
5d． 4
54．如圖，直線 a ， b 被直線 c 所截， a ∥b ， ∠1 = ∠2 ，若 ∠3 = 40 ， 則 ∠4 等於
a． 40 b． 50
c． 70 d．80
5．如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定乙個目標點 a ，在近岸取點 b ，c ， d ，使得 ab ⊥ bc ，cd ⊥ bc ，點 e 在 bc 上， 並且點 a ， e ， d 在同一條直線上， 若測得 be = 20 m ， be = 10 m ， cd = 20 m ，則河的寬度 ab 等於
a． 60 m b． 40 m
c． 30 m d． 20 m
6．下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是c3
a2 1
4 b
ab e c d
a b c d
7．某中學隨機地調查了 50 名學生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結果如下表所示：
則這 50 名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是
a． 6.2 小時 b． 6.4 小時 p
c． 6.5 小時 d．7 小時
8．如圖，點 p 是以 o 為圓心， ab 為直徑的半圓上的動點， ab = 2 ，
設弦 ap 的長為 x ，△apo
的面積為 y ，則下列圖象中，能表示 y a o b
與 x 的函式關係的圖象大致是
y y
1 1
2 2
1 2 xay
121 2 xby
121 2 x
c1 2 x
d二、填空題（本題共 16 分，每小題 4 分）
9．分解因式： ab2 - 4ab + 4a = .
10．請寫出乙個開口向上，並且與 y 軸交於點（0，1）的拋物線的解
析式， y = .
a m d
11．如圖， o 是矩形 abcd 的對角線 ac 的中點， m 是 ad 的中點，
若 ab = 5 ， ad = 12 ，則四邊形 abom 的周長為 .
o12．如圖，在平面直角座標系 xoy 中，已知直線 l ： y = -x - 1 ，雙曲
b c
線 y = 1 ，在 l 上取一點 a ，過 a 作 x 軸的垂線交雙曲線於點
x 1 1
yb1 ，過 b1 作 y 軸的垂線交 l 於點 a2 ，請繼續操作並**：過 a2
作 x 軸的垂線交雙曲線於點 b2 ，過 b2 作 y 軸的垂線交 l 於點
a3 ，…，這樣依次得到 l 上的點 a1 ， a2 ， a ，…， an ，….
記點 an 的橫座標為 an ， 若 a1 = 2 ， 則 a2 = ，
a2013 = ；若要將上述操作無限次地進行下雲，則 a1 不
1 b1
a2o 1 x
a1 l
能取的值是 .
三、解答題（本題共 30 分，每小題 5 分）
c13．已知：如圖，d 是 ac 上一點，ab = da ，de ∥ab ，∠b = ∠dae . e d
求證： bc = ae .
14．計算： (1 -
3)0 + | -
2 | -2 cos 45 + ( 1 )-1 .
4 a b
3x > x - 2 ，
15．解不等式組：
16．已知 x2 - 4x -1 = 0 ，求代數式 (2x - 3)2 - (x + y)(x - y) - y2 的值.
17．列方程或方程組解應用題：
某園林隊計畫由 6 名工人對 180 平方公尺的區域進行綠化，由於施工時增加了 2 名工人，結果比計畫提前 3 小時完成任務，若每人每小時綠化面積相同，求每人每小時的綠化面積.
18．已知關於 x 的一元二次方程 x2 + 2x + 2k - 4 = 0 有兩個不相等的實數根.
（1）求 k 的取值範圍；
（2）若 k 為正整數，且該方程的根都是整數，求 k 的值.
四、解答題（本題共 20 分，每小題 5 分）
19．如圖，在 abcd 中， f 是 ad 的中點，延長 bc 到點 e ，
使 ce = 1 bc ，連線 de ， cf .
2a f d
（1）求證：四邊形 cedf 是平行四邊形；
（2）若 ab = 4 ， ad = 6 ， ∠b = 60 ，求 de 的長.
20．如圖 ab 是 o 的直徑， pa ， pc 與 o 分別相切於點 a ，
c ，pc 交 ab 的延長線於點 d ，de ⊥ po 交 po 的延長線於點 e .
（1）求證： ∠epd = ∠edo ；
（2）若 pc = 6 ， tan ∠pda = 3 ，求 oe 的長.
421．第九界中國國際園林博覽會（園博會）已於 2013 年 5 月 18
b c epc
ba o d
e日在北京開幕，以下是根據近幾屆園博會的相關資料繪製的統計圖的一部分。
第六屆至第九屆園博會園區陸地面積和水面面積統計圖
第九屆園博會植物花園區各花園面積分布統計圖
43.5
32.5
21.5
10.5
03.7
32.5
11.7
0.5陸地紫薇園面積櫻花園水面
面積月季園
牡丹園丁香園
（1）第九界園博會的植物花園區由五個花園組成，其中月季園面積為 0.04 平方千公尺，
牡丹園面積為平方千公尺；
（2）第九屆園博會園區陸地面積是植物花園區總面積的 18 倍，水面面積是第
七、八屆園博會的水面面積之和，請根據上述資訊補全條形統計圖，並標明相應資料；
（3）小娜收集了幾屆園博會的相關資訊（如下表），發現園博會園區周邊設定的停車位數量與日均接待遊客量和單日最多接待遊客量中的某個量近似成正比例關係。
根據小娜的發現，請估計，將於 2015 年舉辦的第十屆園博會大約需要設定的停車位數量（直接寫出結果，精確到百位）。
第七屆至第十屆園博會遊客量與停車位數量統計表
22．閱讀下面材料：
小明遇到這樣乙個問題：如圖 1，在邊長為 a (a > 2) 的正方形 abcd 各邊上分別擷取 ae = bf = cg = dh = 1 ，當 ∠afq = ∠bgm = ∠ghn = ∠dep = 45 時，求正方形
mnpq 的面積。
rw a q dhh
m p f
n c
b g c t
圖1 圖2
小明發現，分別延長 qe ， mf ， ng ， ph 交 fa ， gb ， hc ， ed 的延長線於
點 r ， s ，t ，w ，可得△rqf ， △smg ， △tnh ，△wpe 是四個全等的等腰直角三角形（如圖 2）。
請回答：
a（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成乙個新的正方形
（無縫隙不重疊），則這個新正方形的邊長為d
（2）求正方形 mnpq 的面積。 r
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖 3，在等邊△abc 各邊上分別擷取 ad = be = cf ， q f
再分別過點 d ， e ， f 作 bc ， ac ， ab 的垂線，得到等邊
b e c
△rpq ，若 s△epq =則 ad r 的長為圖3
五、解答題（本題共 22 分，第 23 題 7 分，第 24 題 7 分，第 25 題 8 分）
23．在平面直角座標系 xoy 中，拋物線 y = mx2 - 2mx - 2(m ≠0) 與 y 軸交於點 a ，其對稱軸與 x 軸交於點 b 。
（1）求點 a ， b 的座標；
（2）設直線 l 與直線 ab 關於該拋物線的對稱軸對稱，求直線 l 的解析式；
（3）若該拋物線在 -2 < x < -1這一段位於直線 l 的上方，並且在 2 < x < 3 這一段位於直線 ab 的下方，求該拋物線的解析式。y6
5432
1-4 -3 -2 -1 o
-1-2
-3-4
-5-6
1 2 3 4 x
24．在△abc 中， ab = ac ，∠bac = α（ 0＜α＜60 ），將線段 bc 繞點 b 逆時針旋轉 60
得到線段 bd 。
（1）如圖 1，直接寫出 ∠abd 的大小（用含 α 的式子表示）；
（2）如圖 2， ∠bce = 150 ， ∠abe = 60 ，判斷△abe 的形狀並加以證明；
（3）在（2）的條件下，連線 de ，若 ∠dec = 45 ，求 α 的值。
a a
d d
eb c b c
圖1 圖2
25．對於平面直角座標系 xoy 中的點 p 和⊙c ，給出如下定義：若⊙ c 上存在兩個點 a, b ， 使得 ∠apb = 60 ，則稱 p 為⊙ c 的關聯點。
已知點 d 1 , 1 ， e (0, -2) ， f (2 3, 0) 。
（1）當⊙o 的半徑為 1 時，
①在點 d, e, f 中，⊙o 的關聯點是＿＿＿＿＿＿＿；
②過點 f 作直線 l 交 y 軸正半軸於點 g ，使 ∠gfo = 30 ，若直線 l 上的點 p (m, n)
是⊙o 的關聯點，求 m 的取值範圍;
（2）若線段 ef 上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑 r 的取值範圍。y6
5432
1-4 -3 -2 -1 o
-1-2
-3-4
-5-6
1 2 3 4 x
一、選擇題
2013 年北京市高階中等學校招生考試
數學試卷參***
1．b 2．d 3．c 4．c 5．b 6．a 7．b 8．a
二、填空題
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