1．當時,證明成立.
證：(1)變形:,這是對數函式的增量形式令
(2)在應用拉格朗日中值定理:
(3) 故有證畢！
2．證明:成立
證：(1)構造輔助函式,令
(2)在應用拉格朗日定理:
(3) 對於的情形,同理可證證畢
3．證明:當時,有成立.
證：(1) 構造輔助函式： ∴令
(2)在應用拉格朗日中值定理,
(3)是單調增函式 ，故有證畢
4．當時,證明成立.
證：(1)令
(2) 在單調減少
(3)在單調減少,且
故當時證畢
5．當時,證明成立.
證：(1)變形, 令
(2)令 且從而在單調減少
(3)∵且=0 即有成立
6．當時,證明成立.
證：(1)變形，令
(2)(一階導數符號不易判定,借助)
=且單調增加
(3)在單調增,且,
故有證畢
7．當時,證明:成立.
解：(1)令
(2) 令,駐點
(3) ，為極小值點.
由單峰原理,是最小值點最小值
故有,即證畢
8．設,證明成立.
證：(1)令
(2) 駐點
(3)(4)比較上述函式值的大小:
故有,即證畢
9．證明:當時,有.
證：(1)令
(2) , 在單調增加
(3)由,得從而有證畢
二、證明方程根的個數
10．證明:當時,方程僅有乙個實根.
證：(1)令
單調增,故最多有乙個實根
(2)是一元五次方程至少有乙個實根
(3)綜上所述:有且只有乙個實根. 證畢
11．證明方程只有乙個正根.
證(1)
單調增故最多有一實根
(2)在連續且
∴由零點定理知:至少有乙個正根.
（3）綜上所述:有且僅有乙個正根
12．證明方程: 有且僅有兩個實根.
解：(1)令
在連續且
∴由零點定理知:在至少有乙個實根
同理: =0在至少有一實根
總之, =0在至少有兩個實根
(2) =0是一元二次方程,最多有兩個實根．
(３)綜上所述： =0有且僅有兩個實根
13．設常數證明方程,在內有且僅有兩個正根.
證：(1)令(x>0)
(2) ;令駐點
<0,為極大值點.
由單峰原理:是最大值點
最大值且,
故與軸有且僅有兩個交點
(如示意圖)
即在有且只有兩個實根.
三、 應用題（每小題10分，共50分）
14．已知曲線.
（1）求曲線在橫座標為的點處的切線方程.
（2）求曲線的切線被兩座標軸所截線段的最短長度.
解：(1)求切線方程:切點
切線方程: 即
(2)令令
(3)令(4)
最小值15．在半徑為r的半徑內作乙個圓柱體,求最大體積時的底半徑與高.
解：(1)畫出示意圖
(2)依題意,設所求圓柱體體積為v
(3)求駐點
,令,,駐點
（4）求最值點:
,為最大值點
答:當,時,所得圓柱體體積最大
16．某客輪每小時消耗燃料的費用速度的立方正比,若該客輪從甲城到已城沿江逆流而上,設水流速度為每小時公里,求客輪最經濟的速度?
解：(1)列出函式關係式:設從甲城沿江到乙城的路程為.消耗總費用為.依題意:
,其中是甲城到乙城所需要的時間
(2)求駐點:
令,駐點
(3)求最值:由實際問題的意義知道:
最小值存在,且駐點唯一,當時,客輪消耗燃料總費用最省.
17．欲做乙個容積是3000的無蓋圓柱形的蓄水池,已知池底單位面積造價為池壁單位面積的3倍,問蓄水池的尺寸怎樣設計,才能使總造價最低?
解：(1)列出函式關係式:設池底半徑為,池高為,池壁單位面積造價為元,總造價為,依題意:
(2) 求駐點: 令,駐點
(3) 求最值: , 當時,總造價最省.
(4) 當時,
答:當時,總造價最低.
18．從一塊半徑為r的圓鐵片上挖去乙個扇形,把留下的中心角為取多大時,做成的漏斗的容積最大?
解：(1)列出函式關係式:設漏斗體積為v
依題意:,
,(2) 求駐點
令=0.
,駐點又
(3) 求最值
由實際問題意義知道:漏斗最大容積存在,且駐點唯一,當時,漏斗的容積最大.
06第六講利用導數證明不等式及導數應用題
一 證明不等式 1 當時,證明成立.證 1 變形 這是對數函式的增量形式 令 2 在應用拉格朗日中值定理 3 故有證畢！2 證明 成立 證 1 構造輔助函式,令 2 在應用拉格朗日定理 3 對於的情形,同理可證.證畢3 證明 當時,有成立.證 1 構造輔助函式 令 2 在應用拉格朗日中值定理,3 是...
利用導數證明不等式
函式與導數 三 核心考點 五 利用導數證明不等式 一 函式類不等式證明 函式類不等式證明的通法可概括為 證明不等式 的問題轉化為證明 進而構造輔助函式，然後利用導數證明函式的單調性或證明函式的最小值 最大值 大於或等於零 小於或等於零 例1 已知函式 1 討論函式的單調性 2 設，證明 當時，3 若...
利用導數證明不等式
在 上為增函式，f x 對 恆成立，即 對 恆成立 記則1 x e x，當 時，當 時，知 在 1 上為增函式,在 1,上為減函式,g x 在x 1時,取得最大值，即g x max g 1 1 e,a 1 e,即a的取值範圍是 1 e,2 記f x f x 1 x 則f x ex 1 x,令h x ...