趣題引入
已知函式設，
證明：分析：主要考查利用導數證明不等式的能力。
證明：，設
當時，當時，
即在上為減函式，在上為增函式
∴，又∴，
即 設當時，，因此在區間上為減函式；
因為，又∴，即 故
綜上可知，當時，
本題在設輔助函式時，考慮到不等式涉及的變數是區間的兩個端點，因此，設輔助函式時就把其中乙個端點設為自變數，範例中選用右端點，讀者不妨設為左端點試一試，就能體會到其中的奧妙了。
技巧精髓
一、利用導數研究函式的單調性，再由單調性來證明不等式是函式、導數、不等式綜合中的乙個難點，也是近幾年高考的熱點。
二、解題技巧是構造輔助函式，把不等式的證明轉化為利用導數研究函式的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造乙個可導函式是用導數證明不等式的關鍵。
1、利用題目所給函式證明
【例1】 已知函式，求證：當時，
恒有分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函式證明，左邊建構函式
，從其導數入手即可證明。
【綠色通道】
∴當時，，即在上為增函式
當時，，即在上為減函式
故函式的單調遞增區間為，單調遞減區間
於是函式在上的最大值為，因此，當時，，即∴（右面得證），現證左面，令，
當，即在上為減函式，在上為增函式，
故函式在上的最小值為，
∴當時，，即
∴，綜上可知，當
【警示啟迪】如果是函式在區間上的最大（小）值，則有（或），那麼要證不等式，只要求函式的最大值不超過就可得證．
2、直接作差建構函式證明
【例2】已知函式求證：在區間上，函式的圖象在函式的圖象的下方；
分析：函式的圖象在函式的圖象的下方問題，
即，只需證明在區間上，恒有成立，設，，考慮到
要證不等式轉化變為：當時，，這只要證明：在區間是增函式即可。
【綠色通道】設，即，
則=當時， =從而在上為增函式，∴
∴當時，即，故在區間上，函式的圖象在函式的圖象的下方。
【警示啟迪】本題首先根據題意構造出乙個函式（可以移項，使右邊為零，將移項後的左式設為函式），並利用導數判斷所設函式的單調性，再根據函式單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設做一做，深刻體會其中的思想方法。
3、換元後作差建構函式證明
【例3】證明：對任意的正整數n，不等式都成立.
分析：本題是山東卷的第（ii）問，從所證結構出發，只需令，則問題轉化為：當時，恒有成立，現建構函式，求導即可達到證明。
【綠色通道】令，則在上恆正，所以函式在上單調遞增，∴時，恒有即，∴
對任意正整數n，取
【警示啟迪】我們知道，當在上單調遞增，則時，有．如果＝，要證明當時， ，那麼，只要令＝－，就可以利用的單調增性來推導．也就是說，在可導的前提下，只要證明０即可．
4、從條件特徵入手建構函式證明
【例4】若函式y=在r上可導且滿足不等式x>－恆成立，且常數a，b滿足a>b，求證：．a>b
【綠色通道】由已知 x+>0 ∴建構函式，
則x+>0， 從而在r上為增函式。
∴即 a>b
【警示啟迪】由條件移項後，容易想到是乙個積的導數，從而可以建構函式，求導即可完成證明。若題目中的條件改為，則移項後，要想到是乙個商的導數的分子，平時解題多注意總結。
【思維挑戰】
1、 設
求證：當時，恒有，
2、已知定義在正實數集上的函式其中a>0，且， 求證：
3、已知函式，求證：對任意的正數、，
恒有4、（2023年，陝西卷）是定義在（0，+∞）上的非負可導函式，且滿足≤0，對任意正數a、b，若a < b，則必有
（a）af (b)≤bf (ab）bf (a)≤af (b)
（c）af (a)≤f (bd）bf (b)≤f (a)
【答案諮詢】
1、提示：，當，時，不難證明
∴，即在內單調遞增，故當時，
當時，恒有
2、提示：設則
當時，，
故在上為減函式，在上為增函式，於是函式在上的最小值是，故當時，有，即
3、提示：函式的定義域為，
∴當時，，即在上為減函式
當時，，即在上為增函式
因此在取得極小值，而且是最小值
於是，即
令於是因此
4、提示：，，故在（0，+∞）上是減函式，由有 af (b)≤bf (a) 故選（a）
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