1.建構函式證明不等式的方法
(1)對於(或可化為)左右兩邊結構相同的不等式,建構函式f(x),使原不等式成為形如
f(a)>f(b)的形式.
(2)對形如f(x)>g(x),建構函式f(x)= f(x)-g(x).
(3)對於(或可化為)的不等式,可選(或)為主元,建構函式(或
).2.利用導數證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形. (2)構造新的函式h(x).
(3)對h(x)求導. (4)利用判斷h(x)的單調性或最值. (5)結論.
例：設為常數），曲線與直線在(0，0)點相切.
(1)求的值. (2)證明：當時，.
【解題指南】(1)點在曲線上，則點的座標滿足曲線方程；同時據導數的幾何意義可以建立另乙個方程，求出a,b;
2) 建構函式，利用導數研究單調性，借助函式單調性證明不等式
【解析】方法一：（1）由的圖象過點（0，0）得b=-1；
由在點（0，0）的切線斜率為，
則. （2）當時，，
令，則 令，則當時，
因此在（0,2）內是遞減函式，又，
則時，所以時，，即在（0,2）內是遞減函式，
由，則時，，
故時，，即.
方法二：由（1）知，
由基本不等式，當時， （i)
令，則，
故，即 （ii）
由（i)、（ii）得，當時，，
記，則當時，
因此在（0,2）內是遞減函式，又，得，
故時，.
針對性練習：
1．設a為實數，函式f(x)＝ex－2x＋2a，x∈r.
(1)求f(x)的單調區間與極值；(2)求證：當a＞ln 2－1且x＞0時，ex＞x2－2ax＋1.
解析 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈r知f′(x)＝ex－2，x∈r.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
於是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
故f(x)的單調遞減區間是(－∞，ln 2)，單調遞增區間是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)．
(2)設g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈r， 於是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈r.
由(1)知當a＞ln 2－1時，g′(x)的最小值為g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.
於是對任意x∈r都有g′(x)＞0，所以g(x)在r內單調遞增．
於是當a＞ln 2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．
而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.
即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.
2. 設函式在上是增函式。
（1） 求正實數的取值範圍；
（2） 設，求證：
解：（1）對恆成立，
對恆成立又為所求。
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函式，
即； 另一方面，設函式
在上是增函式且在處連續，又
當時，, ∴, 即
綜上所述，。
3.已知函式，
證明：對於任意的兩個正數，總有成立；
解：由：，
而： ，
又因為：所以：，即：成立。
4.設，函式.
(1)求函式的單調區間；
(2)當時，函式取得極值，證明：對於任意的
.解：(1
①當時，恆成立，在上是增函式；
② 當時，令，即，解得.
因此，函式在區間內單調遞增，
在區間內也單調遞增.
令，解得.
因此，函式在區間內單調遞減.
（2）當時，函式取得極值，即，
由(ⅰ)在單調遞增，在單調遞減，單調遞增.
在時取得極大值；在時取得極小值，
故在上，的最大值是，最小值是；
對於任意的
一題多解專題三 利用導數證明不等式問題
1.建構函式證明不等式的方法 1 對於 或可化為 左右兩邊結構相同的不等式,建構函式f x 使原不等式成為形如 f a f b 的形式.2 對形如f x g x 建構函式f x f x g x 3 對於 或可化為 的不等式,可選 或 為主元,建構函式 或 2.利用導數證明不等式的基本步驟 1 作差或...
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