1.建構函式證明不等式的方法
(1)對於(或可化為)左右兩邊結構相同的不等式,建構函式f(x),使原不等式成為形如
f(a)>f(b)的形式.
(2)對形如f(x)>g(x),建構函式f(x)= f(x)-g(x).
(3)對於(或可化為)的不等式,可選(或)為主元,建構函式(或
).2.利用導數證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形. (2)構造新的函式h(x).
(3)對h(x)求導. (4)利用判斷h(x)的單調性或最值. (5)結論.
例:設為常數),曲線與直線在(0,0)點相切.
(1)求的值. (2)證明:當時,.
【解題指南】(1)點在曲線上,則點的座標滿足曲線方程;同時據導數的幾何意義可以建立另乙個方程,求出a,b;
2) 建構函式,利用導數研究單調性,借助函式單調性證明不等式
【解析】方法一:(1)由的圖象過點(0,0)得b=-1;
由在點(0,0)的切線斜率為,
則. (2)當時,,
令,則 令,則當時,
因此在(0,2)內是遞減函式,又,
則時,所以時,,即在(0,2)內是遞減函式,
由,則時,,
故時,,即.
方法二:由(1)知,
由基本不等式,當時, (i)
令,則,
故,即 (ii)
由(i)、(ii)得,當時,,
記,則當時,
因此在(0,2)內是遞減函式,又,得,
故時,.
針對性練習:
1.設a為實數,函式f(x)=ex-2x+2a,x∈r.
(1)求f(x)的單調區間與極值;(2)求證:當a>ln 2-1且x>0時,ex>x2-2ax+1.
解析 (1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈r知f′(x)=ex-2,x∈r.令f′(x)=0,得x=ln 2.
於是當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
故f(x)的單調遞減區間是(-∞,ln 2),單調遞增區間是(ln 2,+∞),f(x)在x=ln 2處取得極小值,極小值為f(ln 2)=2(1-ln 2+a).
(2)設g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈r, 於是g′(x)=ex-2x+2a,x∈r.
由(1)知當a>ln 2-1時,g′(x)的最小值為g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.
於是對任意x∈r都有g′(x)>0,所以g(x)在r內單調遞增.
於是當a>ln 2-1時,對任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
2. 設函式在上是增函式。
(1) 求正實數的取值範圍;
(2) 設,求證:
解:(1)對恆成立,
對恆成立又為所求。
(2)取,,
一方面,由(1)知在上是增函式,
即; 另一方面,設函式
在上是增函式且在處連續,又
當時,, ∴, 即
綜上所述,。
3.已知函式,
證明:對於任意的兩個正數,總有成立;
解:由:,
而: ,
又因為:所以:,即:成立。
4.設,函式.
(1)求函式的單調區間;
(2)當時,函式取得極值,證明:對於任意的
.解:(1
①當時,恆成立,在上是增函式;
② 當時,令,即,解得.
因此,函式在區間內單調遞增,
在區間內也單調遞增.
令,解得.
因此,函式在區間內單調遞減.
(2)當時,函式取得極值,即,
由(ⅰ)在單調遞增,在單調遞減,單調遞增.
在時取得極大值;在時取得極小值,
故在上,的最大值是,最小值是;
對於任意的
一題多解專題三 利用導數證明不等式問題
1.建構函式證明不等式的方法 1 對於 或可化為 左右兩邊結構相同的不等式,建構函式f x 使原不等式成為形如 f a f b 的形式.2 對形如f x g x 建構函式f x f x g x 3 對於 或可化為 的不等式,可選 或 為主元,建構函式 或 2.利用導數證明不等式的基本步驟 1 作差或...
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