∴g(x)在x=1時,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,
即a的取值範圍是[1/e, + ∞)
(2)記f(x)=f(x) －(1+x) =
則f′(x)=ex-1-x,
令h(x)= f′(x)=ex-1-x,則h′(x)=ex-1
當x>0時, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函式,
又h(x)在x=0處連續, ∴h(x)>h(0)=0
即f′(x)>0 ,∴f(x) 在(0,+ ∞)上為增函式,又f(x)在x=0處連續,
∴f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x．
小結：當函式取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恆成立，從而把不等式的恆成立問題可轉化為求函式最值問題．不等式恆成立問題，一般都會涉及到求引數範圍，往往把變數分離後可以轉化為(或)恆成立，於是大於的最大值（或小於的最小值），從而把不等式恆成立問題轉化為求函式的最值問題．因此，利用導數求函式最值是解決不等式恆成立問題的一種重要方法．
例3．（全國）已知函式
(1) 求函式的最大值；
(2) 設,證明 ：.
分析：對於（ii）絕大部分的學生都會望而生畏.學生的盲點也主要就在對所給函式用不上.
如果能挖掘一下所給函式與所證不等式間的聯絡，想一想大小關係又與函式的單調性密切相關，由此就可過渡到根據所要證的不等式構造恰當的函式，利用導數研究函式的單調性，借助單調性比較函式值的大小，以期達到證明不等式的目的.證明如下：
證明：對求導,則.
在中以b為主變元建構函式,
設,則.
當時，,因此在內為減函式.
當時, ,因此在上為增函式.
從而當時,有極小值.
因為所以,即
又設.則.
當時,.因此在上為減函式.
因為所以,即.
綜上結論得證。
對於看起來無法下手的乙個不等式證明，對其巧妙地建構函式後，運用導數研究了它的單調性後，通過利用函式的單調性比較函式值的大小,使得問題得以簡單解決.
四、課堂小結
1、利用導數證明不等式或解決不等式恆成立問題,關鍵是把不等式變形後構造恰當的函式，然後用導數判斷該函式的單調性或求出最值，達到證明不等式的目的；
2、利用導數解決不等式恆成立問題，應特別注意區間端點是否取得到；
3、學會觀察不等式與函式的內在聯絡，學會變主元建構函式再利用導數證明不等式；
總之，無論是證明不等式，還是解不等式，我們都可以構造恰當的函式，利用到函式的單調性或最值，借助導數工具來解決，這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數學中的重要體現．
五、思維拓展
（2008聯考）已知函式，；
（1） 求證：當時對於任意正實數, 的圖象總不會在圖象的上方；
（2） 對於在（0，1）上任意的值，問是否存在正實數使得成立？如果存在，求出符合條件的的乙個取值；否則說明理由。
利用導數證明不等式
函式與導數 三 核心考點 五 利用導數證明不等式 一 函式類不等式證明 函式類不等式證明的通法可概括為 證明不等式 的問題轉化為證明 進而構造輔助函式，然後利用導數證明函式的單調性或證明函式的最小值 最大值 大於或等於零 小於或等於零 例1 已知函式 1 討論函式的單調性 2 設，證明 當時，3 若...
利用導數證明不等式
在 上為增函式，f x 對 恆成立，即 對 恆成立 記則1 x e x，當 時，當 時，知 在 1 上為增函式,在 1,上為減函式,g x 在x 1時,取得最大值，即g x max g 1 1 e,a 1 e,即a的取值範圍是 1 e,2 記f x f x 1 x 則f x ex 1 x,令h x ...
導數題型五利用導數證明不等式
導數習題題型分類精選題型五 利用導數證明不等式 學生用 不等式的證明問題是中學數學教學的乙個難點,傳統證明不等式的方法技巧性強,多數學生不易想到,並且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導數,這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,並且在近年高考題中使用導數證明不等式也時有出現,...