引言不等式的證明是數學學習中的難點，而導數在不等式的證明中起著關鍵的作用。不等式的證明是可以作為乙個系列問題來看待,不等式的證明是數學學習的重要內容之一,也是難點之一。其常用的證明方法有:
比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數學歸納法等等,然而有一些問題用上面的方法來解決是很困難的,我們在學完導數及其應用這一內容以後,可以利用導數的定義、函式的單調性、最值性(極值性)等相關知識解決一些不等式證明的問題。導數也是微積分的初步基礎知識，是研究函式、解決實際問題的有力工，它包括微分中值定理和導數應用。不等式的證明在數學課題中也是乙個很重要的問題，此類問題能夠培養我們理解問題、分析問題的能力。
本文針這篇**是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。這篇**是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。對導數的定義、微分中值定理、函式的單調性、泰勒公式、函式的極值、函式的凹凸性在不等式證明中的應用進行了舉例。
一、利用導數的定義證明不等式
定義設函式在點的某領域內有定義,若極限
存在則稱函式在點處可導，並稱該極限為函式在點處的導數，記作
令 ，，則上式可改寫為
所以，導數是函式增量與自變數增量之比的極限。這個增量比稱為函式關於自變數的平均變化率( 又稱差商)，而導數則為在處關於的變化率。
以下是導數的定義的兩種等價形式：
（1）（2）
例1: 設，並且，
證明：證明 ，可得出，
因為 ,
則又由導數的定義可知
所以 ，
即可得.
例2、 已知函式，求證:.
分析令，，因為,
要證當時，,即,只需證明在上是增函式。
證明令，則，
因為當時, ,
所以在上是增函式，
就有,，
即可得.
注:證明方法為先找出，使得恰為結論中不等式的一邊；再利用導數的定義並結合已知條件去證明。
二、利用微分中值定理證明不等式
證題思路將要證的不等式改寫成含變數之商或的不等式，則可嘗試利用中值公式
或者並做適當的放縮到待證不等式中
1.使用拉格朗日中值定理證明不等式
定理若函式滿足如下條件:
(i)在閉區間[a,b]上連續；
(ii)在開區間(a,b)內可導，
則在(a,b)內至少存在一點，使得
例3、 證明對一切,成立不等式
證明設，則，
當時，由可推知
， 當時，由可推得
,從而得到所要證明的結論.
注:，然後利用中值定理轉化為其導數的單調性等問題.
2．使用柯西中值定理證明不等式
定理設函式和滿足
(i)在[a,b]上都連續；
(ii)在(a,b)內都可導；
(iii)和不同時為零；
(iv)，
則存在，使得
例4、證明不等式
分析該不等式可化為
可設 ，
，注意到，故可考慮對使用柯西中值定理
證明如上分析構造輔助函式和，則對任意，由柯西中值定理，存在，使得
.三、利用函式的單調性證明不等式
證明思路首先根據題設條件及所證不等式，構造適當的輔助函式，並確定區間[a,b]；然後利用導數確定在[a,b]上的單調性；最後根據的單調性匯出所證的不等式.
1.直接建構函式，再運用函式的單調性來證明不等式
例5 證，其中
分析欲證，只要證在[a,b]上單調遞增，即證即可．
若的符號不好直接判定，可借助於，以至於進一步判定.
證明令，
則 ，
於是時，，有單調增加
所以,有單調增加，可推得，
即.2.先將不等式變形，然後再建構函式並來證明不等式
例6、已知,，求證：為(自然對數的底)
證明設則，就有，
因為, ,
所以，則在上遞增；
又因，所以，就有
從而有， 即.
注: 對於一些不易入手的不等式證明, 可以利用導數思想,先通過特徵不等式構造乙個函式, 再判定其函式單調性來證明不等式成立,這就是利用函式的單調性證明不等式的思想。
構造輔助函式有以下幾種方法:
1.用不等式的兩邊「求差」構造輔助函式；
2.用不等式兩邊適當「求商」構造輔助函式；
3.根據不等式兩邊結構構造「形似」輔助函式；
4.如果不等式中涉及到冪指函式形式,則可通過取對數將其化為易證明的形式再根據具體情況由以上所列方法構造輔助函式.
四、利用泰勒公式證明不等式
證題思路若在(a,b)內具有(n+1)階導數，，則
其中介於與之間．
例7、 設在[0,1]上二階可導，,且，求證：存在，使得.
證明因在[0,1]上二階可導，故在[0,1]上連續, 據最值定理，必使得為最大值，即=1，且有.
而在=1的一階泰勒展式為
其中介於與間
分別在上式中令得，.
故當時，，
當時,，
所以存在,使得.
注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函式在所給區間端點或一些特點( 如區間的中點，零點) 進行展開，通過分析餘項在點的性質，而得出不等式。
值得說明的是泰勒公式有時要結合其它知識一起使用,如當使用的不等式中含有積分號時,一般要利用定積分的性質結合使用泰勒公式進行證明;當所要證明的不等式是含有多項式和初等函式的混合式時,需要作乙個輔助函式並用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡捷。
五、利用函式的最值(極值)證明不等式
由連續函式在[a,b]上的性質,若函式在閉區間[a,b]上連續,則在[a,b]上一定有最大、最小值，這就為我們求連續函式的最大,最小值提供了理論保證。
若函式的最大(小)值點在區間(a,b)內,則必定是的極大(小)點。又若在可導,則還是乙個穩定點。所以我們只要比較在所有穩定點、不可導點和區間端點上的函式值,就能從中找到在[a,b]上的最大值與最小值。
證明方法：先構造輔助函式，再求出在所設區間上的極值與最大、最小值，進而證明所求不等式。
例8、 已知:，證明當時，有
證明令，，則
令，求得，
則因為，
令,求得駐點為，
又因為當時，,
所以在[0,1]上的最小值為，最大值為1,
從而，，r>1.
例9、 證明：當時,
證明作輔助函式
，則是在內的唯一駐點，且當時， ；當時， .
故是的極大值點，是的極大值.
因為當由小變大時，由單調增變為單調減,
故同時也是的最大值,
所以，當時， ,
即.注:在對不等式的證明過程中， 可以以不等式的特點為根據，以此來建構函式，從而運用導數來得出函式的最值，而此項作用也是導數的另乙個功能，即可以被用作求函式的最值。
例如，當此函式為最大或最小值的時候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠成立的，從而可以將證明不等式的問題轉化到求函式最值的問題上來。
六、利用函式的凹凸性質證明不等式
證明思路若，則函式的圖形為凹的，即對任意， ，有，當且僅當時成立．
例10、設，，證明，且等號僅在時成立．
分析將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為
由上式看出，左邊是函式在，兩點處的值的平均值，而右邊是它在中點處的函式值．這時只需證即可．
證明構造輔助函式
，那麼就有：
, 成立.
故由不等式:
可得也即且等號僅在時成立.
例11、已知:,，求證：.
證明設，
則 就有是凸函式
設，，則
就有如下式子成立:
而又因為有 ，
所以成立
故.小結:通過對導數證明不等式的研究，我可以看出不等式的證明方法很多，但各種方法都不盡相同。
我們要充分理解各種方法的應用原理，挖掘導數的各種性質。多做此類難題，不但有利於我們在學習和考試中輕鬆解決同類問題，更有利於培養我們的數學思維和推理論證能力。因而導數在不等式證明當中的應用很有研究價值。
導數的應用 利用導數證明不等式
g x 在x 1時,取得最大值，即g x max g 1 1 e,a 1 e,即a的取值範圍是 1 e,2 記f x f x 1 x 則f x ex 1 x,令h x f x ex 1 x,則h x ex 1 當x 0時,h x 0,h x 在 0,上為增函式,又h x 在x 0處連續,h x h ...
導數中的不等式證明 新
1 2013年榆林一中高三理科第五次聯考21 已知函式.1 當時，求在處的切線方程 2 當時，求的極值 3 求證 2 2013年榆林一中高三文科第三次聯考21 已知函式.1 求函式的單調區間 2 若恒成立，試確定的取值範圍 3 證明 3 設函式.1 設函式在上存在極值，求實數的取值範圍 2 若函式在...
利用導數證明不等式
函式與導數 三 核心考點 五 利用導數證明不等式 一 函式類不等式證明 函式類不等式證明的通法可概括為 證明不等式 的問題轉化為證明 進而構造輔助函式，然後利用導數證明函式的單調性或證明函式的最小值 最大值 大於或等於零 小於或等於零 例1 已知函式 1 討論函式的單調性 2 設，證明 當時，3 若...