函式與導數（三）
核心考點
五、利用導數證明不等式
一、函式類不等式證明
函式類不等式證明的通法可概括為：證明不等式（）的問題轉化為證明（），進而構造輔助函式，然後利用導數證明函式的單調性或證明函式的最小值（最大值）大於或等於零（小於或等於零）。
例1、已知函式
（1）討論函式的單調性；
（2）設，證明：當時，；
（3）若函式的影象與x軸交於a、b兩點，線段ab中點的橫座標為，證明：
【變式1】已知函式，求證：恒有成立。
【變式2】（1），證明：
(2)時，求證：
二、常數類不等式證明
常數類不等式證明的通法可概括為：證明常數類不等式的問題等價轉化為證明不等式
的問題，在根據的不等式關係和函式的單調性證明不等式。
例2、已知，求證：
例3、已知函式，
（1）求的極小值；
（2）若，求證：
【變式3】已知，（），直線與函式、的
影象都相切，且與函式的影象的切點的橫座標為1．（ⅰ）求直線的方程及的值；
（ⅱ）若（其中是的導函式），求函式的最大值；
（ⅲ）當時，求證：．
【變式4】求證：
【變式5】證明：
【引申】求證：
【變式6】當時，證明：
【引申】已知函式，各項不為零的數列滿足，
（1）求證：；
（2）設，為數列的前項和，求證：。
利用導數證明不等式
在 上為增函式，f x 對 恆成立，即 對 恆成立 記則1 x e x，當 時，當 時，知 在 1 上為增函式,在 1,上為減函式,g x 在x 1時,取得最大值，即g x max g 1 1 e,a 1 e,即a的取值範圍是 1 e,2 記f x f x 1 x 則f x ex 1 x,令h x ...
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g x 在x 1時,取得最大值，即g x max g 1 1 e,a 1 e,即a的取值範圍是 1 e,2 記f x f x 1 x 則f x ex 1 x,令h x f x ex 1 x,則h x ex 1 當x 0時,h x 0,h x 在 0,上為增函式,又h x 在x 0處連續,h x h ...