安徽五河一中邢文舉、楊梅玲
由數列前n項和構成的不等式是一種非常重要的題型，常在高考題中出現，由於不等式證明本身就是乙個難點，再加數列的各種變形應用，不少學生對該題型束手無策，不知從何處去分析尋求解題思路，該題型一般有三種解題思路：第一，若數列是可求和數列，應先求和sn，再證明不等式；第二，若數列是不可求和數列，一般先將數列的通項放縮成可求和數列，再求和證明不等式；第三，若數列是不可求和數列，對通項的放縮又有一定的困難可嘗試用數學歸納法證明不等式，當然有的可求和數列和構成的不等式也可用數學歸納法證明，下面以例說明。
例1、各項均為正數的等差數列，a1=3前n項和為sn，等比數列中，b1=1，且b2s2=64，是公比為64的等比數列。
（1）求an、bn；
（2）證明
解：（1）設的公差為d，的分比為q（d>0,q>0）
則an=3+(n-1)d bn=q n-1
又b2s2=q(6+d)=64
可求得：d=2，q=8
∴an=2n+1，bn=8n-1
（2）由（1）知sn=n(n+2)
顯然是可求和數列，先求和，再證明不等式∴=
∴原不等式對
例2、等比數列的前n項和為sn，已知對任意的，點(n,sn)均在函式y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數)的圖象上。
（1）求r的值；
（2）當b=2時設，數列的前n項和為tn，證明
解：（1）由已知有sn=bn+r，當n≥2時，sn-1=bn-1+r
∴an=sn-sn-1=(b-1)·bn-1
又a1=b+r a2=(b-1)b
∴ ∴r=-1
（2）由b=2，故（1）有：an=2n-1 bn=
由於是可求和數列，先求和後證明不等式
tn=b1+b2+b3+…+bn
∴ ①
②①-②得：
∴∵為遞增數列
∴∴對成立
例3、證明不等式：（）
證明（一）∵數列是不可求和數列，應先放縮再證明不等式。∵∴
=2（）
∴對成立
（二）數學歸納法證明
（1）當n=1時，，即n=1不等式成立。
（2）假設當n=k()時不等式成立
即： 當n=k+1時==
=即n=k+1時，不等式成立。
由（1）（2）知，原不等式對均成立
例4、已知數列前n項和為sn，點(n,sn)在函式y=3x-1的圖象上，bn=an，前n項和為bn，證明：bn解：由已知：sn=3n-1
當n=1時，a1=3-1=2
當n≥2時，an=sn-sn-1=2×3n-1
∴an=2×3n-1（）
∴法（一），顯然是不可求和數列，先放縮，再證明不等式。
∵==(2n+1)×3n-1
∴bn=b1+b2+b3+…+bn
<3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1
令tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1
由錯位相減法可求得tn=n×3n
∴bn< n×3n
注：也可用均值不等式：對bn進行放縮。
法（二）用數學歸納法證明：bn< n·3n
①當n=1時，b1=b1=<1×31=3
即n=1時，不等式成立
②假設當n=k+1時，不等式成立，即bk當n=k+1時
bk+1=bk+bk+1 < k·3k+
=(3k+3)×3k=(k+1)×3k+1
即n=k+1時不等式成立
由①②知：bn< n·3n對均成立
由以上例題可知，對於由數列的前n項和sn構成的不等式證明，首先考查是否可求和，若能求和，先求出sn再證明不等式，若不可求和，要麼先將an進行放縮成可求和數列，再求和證明不等式；要麼利用數學歸納法進行證明，當然還可建構函式來證明，在這就不說了，希望通過本文，對同學們解答這類題有一定的啟發。
2011.4.26
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