共歸納了五大類，16種放縮技巧，28道典型練習題，供日後學習使用。
1、數列求和
（1）放縮成等比數列再求和
（2）放縮成差比數列再錯位相減求和
（3）放縮成可裂項相消再求和
（4）數列和比大小可比較單項
2、公式、定理
（1）利用均值不等式
（2）利用二項式定理
（3）利用不動點定理
（4）利用二次函式性質
3、累加、累乘
（1）累加法
（2）利用類等比數列累乘
4、證明不等式常用方法
（1）反證法
（2）數學歸納法及利用數學歸納法結論
5、其它方法
（1）構造新數列
（2）看到「指數的指數」取對數
（3）將遞推等式化為遞推不等式
（4）符號不同分項放縮
一、數列求和
（1）放縮成等比數列再求和
[典例1]已知數列，，，。
（ⅰ）求證：當時：；
（ⅱ）記，求證。
[典例2]已知數列滿足，。
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）設的前項和為，求證：。
[典例3]設數列滿足，。
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）求正整數，使最小。
（2）放縮成差比數列再錯位相減求和
[典例1]已知數列滿足：，，求證：。
[典例2]已知數列與其前項和滿足。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）證明：。
（3）放縮成可裂項相消再求和
[典例1]已知。求證：。
[典例2]已知數列滿足，。
（ⅰ）求證：是等比數列；
（ⅱ）求證：。
[典例3]設是數列前項之積，滿足，。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，求證：。
（4）數列和比大小可比較單項
[典例1]已知數列滿足，。
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）設的前項和為，求證：。
[典例2]已知，圓：與軸正半軸的焦點為，與曲線的交點為，直線與軸的交點為。對，證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）若，，則。
二、公式、定理
（1）利用均值不等式
[典例]數列定義如下：，。證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（ⅲ）。
（2）利用二項式定理
[典例]已知數列滿足：，。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，，證明：。
（3）利用不動點定理求數列通項
[典例1]已知函式，數列滿足，，，。
（ⅰ）求的取值範圍，使對任意的正整數，都有；
（ⅱ）若，，求證：，
[典例2]已知函式，數列滿足，，。
（ⅰ）求的實數解；
（ⅱ）是否存在實數，使得對所有的都成立？證明你的結論；
（ⅲ）設數列的前項和為，證明：。
（4）利用二次函式性質
[典例]在正項數列中，，，為的前項和，且
（ⅰ）比較與的大小；
（ⅱ）令，數列的前項和為。
三、累加、累乘
（1）累加法
[典例1]已知數列，，，。
（ⅰ）求證：當時：；
（ⅱ）記，求證：。
[典例2]已知，數列的首項，。
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：，。
[典例3]已知數列滿足=且=-（）
（ⅰ）證明：1（）；
（ⅱ）設數列的前項和為，證明（）.
（2）利用類等比數列累乘
[典例1]設，給定數列，其中，，。求證：。
[典例2]已知數列滿足：，且，設。
（ⅰ）比較和的大小；
（ⅱ）求證：；
（ⅲ）設為數列的前項和，求證：。
[典例3]已知函式，數列 (＞0)的第一項＝1，以後各項按如下方式取定：曲線在處的切線與經過（0，0）和（）兩點的直線平行（如圖）求證：當時，
（ⅰ）；
（ⅱ）。
[典例4]設數列滿足，，其中。證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）。
四、證明不等式常用方法
（1）反證法
[典例]設，給定數列，其中，，。求證：
（ⅰ），；
（ⅱ）如果，那麼當時，必有。
（2）數學歸納法及利用數學歸納法結論
[典例]設數列滿足，，證明對：
（ⅰ）；
（ⅱ）。
五、其它方法
（1）構造新數列
[典例]設數列滿足，為的前項和。證明：對，（ⅰ）當時，；
（ⅱ）當時，；
（ⅲ）當時，。
（2）看到「指數的指數」取對數
[典例]已知數列滿足：，。證明：。
（3）將遞推等式化為遞推不等式
[典例]已知數列滿足：，。
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：；
（ⅲ）若，求正整數的最小值。
（4）符號不同分項放縮
[典例]已知數列中的相鄰兩項是關於的方程的兩個根，且．（ⅰ）求數列的前項和；
（ⅱ）記，，求證：．
數列與不等式證明專題
複習建議 1 巧用性質 減少運算量 在等差 等比數列的計算中非常重要，但用 基本量法 並樹立 目標意識 需要什麼，就求什麼 既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與 巧用性質 解題相同的效果 2 歸納 猜想 證明體現由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想 學習這部分知識...
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