２０１２年１０月名師導航學壇
證明方法歸類分析
⑧甘肅省渭源縣第一中學曹平原（特級教師）
數列不等式是含有數列的通項％或前ｎ項和ｓ的不等式．在近年來的全國各地高考數學試題中，數列不等式證明問題多次出現，已經成為全國高考數學命題所特別關注的焦點．
數列不等式處於數列與不等式知識的交匯點，通常呈現遞推形式．數列不等式的證明問題，所涉及的知識點較多，是綜合性較強、靈活性較高、難度較大的數學證明問題．
由於數列不等式與自然數有關，所以在證明數列不等式的過程中，最容易聯想到數學歸納法．雖然利用數學歸納法可以證
＿ｚ十（１）ｊ￣ｐｑ的方程為一５：蕁（一４），令），：０，解得 ：
鬥３＋４ｘ．
此式可化為一
明一些數列不等式，但是在更多的情況下，用數學歸納法證明數列不等式並不順利．解決數列不等式證明問題，需要轉換思維方式，從多角度、多方位去思考，需要利用各種不同的方法．其中放縮法最為重要，應當把放縮法滲透在證明數列不等式的各個環節中．只有把各種方法巧妙地結合起來，才能夠較好地解決數列不等式的證明問題．下面對２０１２年全國高考數學試題中的數列不等式的證明問題，做以歸類總結和分析點評，供大家參考．
設一ｓ，則 ｃ＋５，＝去＋｛＝ｓ（＋｛）．
數列｛去＋｛）是首項為一３，公比為５的等比數列．
因此，去＋１＝一丟『ｓ６：一＿】＋１．
所以，數列 ｝的通項公式為ｘｎ＝３一
·評析：對於這個題目，如果先求出數列｛｝的通項公式「＝３一
」，然後，再用放縮法證明「２≤
＋ｌ＜３」，則證明過程
用數學歸納法證明數列不等式
例１（全國ⅱ卷第２２題）函式廠（）＝ 一２ｘ一３，定義數列 ｝
如下：。＝２，是過兩點屍的直線ｐｑ與軸交點的橫座標．
（ｉ）證明：２≤
＜３；更為簡海由。＜３．≤１，得２≤％＜３．又ｘｎ＋１－ｘｎ－
二、用放縮法證明數列不等式
。＜３．
（一４）．
（ⅱ）求數￣，ｌｌｘｌ的通項公式．解：（ｉ）用數學歸納法證明：２≤
例２（廣東ａ卷第１９題）設數列｛翰）的前ｎ項和為ｓ ，滿足２ｓ＝ ｌ一且０ｌ、。２＋５、啦成等差數列．
（１）當 ：１時，：２，直線ｐｑ的方程為ｙ一５：令 ＝０，得ｘ２：＿１１，所以假設當ｎ＝ｋ時，結論成立，即２≤‰
＜３．直線即的方
（ｉ）求的值；
（ⅱ）求數列｛的通項公式；
（ｉｉ１）證明：對一切正整數 ，有
程為ｙ一５： 蘭
ｘｋ＋１－－４
（一４），令ｙ：０，解得 ：：
ｚ＋ｘｋ＋１
．）＝ｃ￣－７』解得解：（ｉ）由ｆ２（ａ１＋ａｚ
１．由歸納假設知 ＝
３＋４ｘｋ＋￣
／＋ｘｋ＋１
十＋十ｈｌ＜４一嘉＝十ｊ３．
＝４一 ５
（ｉｉ）由％＋ｊ「 ，得３．一
ｚ＋ｘｋ＋１
＞０，即
即％＋２＋２棚
則數是公比為３的等比數列．由２口１＝ａａ一３，得０２＝５．
所以即所以２≤＋２＜３，即當ｎ＝ｋ＋ｌ時結論成立．
。＜３．
由（１）、（２）知對於任意的正整數ｒｔ，，２≤
本文是甘肅省２０１２年省級規劃課題《資訊科技環境下的高中數學教學設計的研究》成果之一
高中版中』？擻·？ 鬻
教論名師導航
由得對於任意ｎ∈ｎ都有：ａｌ＝３一２
ｈｅ－＜－１時由 ＜ｖ ＝＿芝成立；ｃ＞ 時，
（ⅲ）因則３」≥３≤未
·＝一～
≥）＋憶當＝時 ÷＋ｃ＞１，則機一。，堪ａｌ
１１１１ｘ，，＋，帆一１＜０不成立．所以，當０＜ｃ≤ 一時，數列｛｝是單調遞增數
列，所以ｃ的範圍是０，１．
評析：在上述解題過程中，根據條件把「數列 ｝是單調遞增
評析：利用放縮法，先證得
數列」轉化為等價條件「＋ 一ｌ＜０恆成立」．然後，分類討論推得
ｏ＜ｃ≤去時，不等式％＿ｌ＋一ｌ＜０成立；ｃ＞丟時 ＋‰一ｌ＜０不成立．在ｅ實際上證明了—個加強命題去＋１－＋去≤尋［一（≥㈠．
對這個不等式的證明，還有另外一種放縮法．
當ｎ：１時，１：１＜ 成立
ｎ１當ｎ＞１２時，＝３一一一·２ ≥２ｎ（一１）．所以，ｎ≥２
２，２（１＝１）．因此，去＋『＋…
～＿２ｊｆｉ一１一＋』一１＋１一 ＋¨－一３３— 一５＋＿＿１一ｉ－一～＿ｌ＋１２一』＿１＿１＜＜』一３．
對於一邊是常數的數列不等式，若只選用數學歸納法來證明，通常是很難進＝ｉｊ．的．用數學歸納法證明式過程如下：
（１）當成立
（２）當ｎ＝ｋ＋ｌ時，假設＿ｌ＋ 十¨．＋１＜ 成立則…
１＋ 十¨．＋ｌ
＿ｌ＿＿＋＜ａｋ十ｌ
，．＋丟也成立．ｚ
這時只需證明「＋吼＋１
３＜．３，』成立．
但是，由 ＝３一２＞０知「～＋÷≤３」不可能成立．由此可見，
ａｋ利用數學納法證明數列不等式，並不是通行無阻的．所以，對於
數列不等式的證明，需要轉換思維方式，選擇靈活多樣的方法．
三、利用等價關係證明數列不等式
例３（安徽理第２１題）數列 ｊ滿足：
戈＋ｃ（ｃ∈ｎ ）．
（ｉ）證明：數列 ｝是單調遞減數列的充分必要條件是ｃ＜０；
（１ｉ）求ｃ的取值範圍，使數列 ｝是單調遞增數列．
解：（ｉ）必要條件：當ｃ＜０時，ｘｎ＋ｌ￣一 ：＋ ＋ｃ數ｙｏ｛ｘ｝是單
調遞減數列；充分條件：數列｛｝是單調遞減數列
ｃ＝＞ｃ＜ ＝ｏ．
所以，數列｛｝是單調遞減數列的充分必要條件是ｃ＜ｏ．（ⅱ）當數列 ｝是單調遞增數列時，ｘｎ＋ｌ≥ ＝０恆成立錚 ＜、／ ；
一１）＞０ 瓤 ＋戈一＜０．１
中』？毒ｊ｝：－？高中版
南此得所求範圍為（０，｛］．四、利用ｉｇｉ數單調性證明數列不等式
例４（天津理第２０題）已知函式廠的最小值
為０，其中０＞０．
（ｉ）求ｎ的值；
（１ｉ）若對任意成立，求實數的最小
值；（ⅲ）證明∑ 乞一ｌ
一ｌ解：（ｉ）＞一。，南廠，（）：ｘ＋ａ－１
０，得 ：１一
＋ａ（）－廠
（１ｉ）當 ≤０時，對於 ∈［０，＋∞），易知廠（）一ｌｎ（ｘ＋１）≤
不能恆成立．
當 ＞０時，設
只需ｇ（）≥。恆成立令ｇ（０，得
０或 ＝—１－２ｋ因為當 ＝ 二時ｇ（）在區間
『０，１－２ｋ～］上是減函式不符合題意．
只有當 ：
≤０，即 ≥ 時，ｇ（）在區間［０，＋。。）上為增
函式恆成立．
所以≥｝，即…啊－｝．
（ⅲ）由（ⅱ）知：當 ∈［ｏ，＋ ）時
恆成立強
享［２］≤擊）
享）２＝ｌ＋（）
＜ ＋喜面
（一）２０１２年１０月：１＋１一＜２
２ｎ－１
又喜［ｎ（＋喜［－ｉｎ（１）］
喜，所以喜擊＿ｌｎ（２州）＜２（）．
評析：利用函式的單調性證明數列不等式，是非常有效的方法．在解題時盡量利用題目中給定的函式，用函式的單調性確定大小關係．本題證明的關鍵是利用（１ｉ）中函式關係式，確定
成立，再相加之後用放縮
法進行證明．
五、利用分類討論和分析法證明數列不等式
例５（重慶理第２１題）設數列｛｝的前ｎ項和ｓ滿足ｓ ＝ｏ ＋ａｌ，其中ｏａ＃０．
（ｉ）求證：｛％｝是首項為１的等比數列；
（ｉｉ）若ⅱ２＞一ｌ，求證並給出等號成立的充要
條件．解：（ｉ）由。１＋啦得ｎｌ：１，則 ＝啦．
ａｌ當ｎ≥２時，ｑ ｌ＝．１一ｓ＝ｏａｓ＋ⅱ１一（ａ２ｓ一一１）＝０２·ⅱ ．
所以｛是首項為１的等比數列．
（ｉｉ）當ｎ≤２時，＝曇（。十％）顯然成立．
當ｎ≥３時，由％＝ｎ三一，知要證明的不等式ｓ ≤（。．＋％）可以寫為一≤ （１＋ａ２一），也可寫為
１＋ｎ２＋ ＋…＋噬≤—ｎ＋一ｌ（１＋噬）
ｏａ＝ｌ時，上式中等號成立．因為，當ｏａ＞一１且 ≠１時，對ｒ＝ｌ，２，
ｎ一１，總有（一１）·（嵋 －１）＞ｏ成立，即 ＋ ＜ ＋１成立．由此得
２（時 ＋…＋噬一）＜（ｎ一１）（噬＋１），進而１＋啦＋ ＋…＋噶＜旦 （１＋ ）．
即綜上，當啦＞一有當且僅當ｎ＝１，２或ｏａ＝ｌ時等號成立．
評析：在上面證明過程中，主要用了分類討論的辦法．先是
對ｎ分類，分為ｎ≤２和ｎ≥３；然後，對啦分類，分為啦＞一１且 ≠１和
ｏａ＝１．其中「由 ＞一１且是最關鍵的
步．在得到 ＋噬 ＜噬＋１後，再用累加法得到１＋啦
（１＋ ），由此得一
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六、利用化歸法和基本足璀讓明數夕ｉｊ小等式
例６（１￣）ｌｌｎ第２２題）已知。為正實數，ｎ為自然數，拋物線２＋２
與舛由正半軸相交於點ａ，設廠（－凡）為該拋物線在點４處
的切線在軸上的截距．
（ｉ）用。和ｎ表（ｎ）；
（ⅱ）求對所有ｎ都有暑 ≥／ｔ３成、￣上＿的。的最小值；（峭呲
較與。的大小，並說明理由．
解：（ｉ）一２，則過點ａ（、／等，０ｊ的切線為
一２、／等（一、／詈），貝『ｊ廠（ｎ）＝
（ⅱ）由， ）＿ ，知對ｎ∈ ，≥
ｄ ＋１
≥ｎ％ｌ
恆成立 ⅱ２ｎ￣＋１恆成立．
當ｎ＝０，１，２時，ａ＇￣２ｎ％１成立，只需ｎ≥、／ ．
當ｎ≥３時，由於一２）＋（２ｎ一５）］＞２ｎ＋
１，所以。的最小值為、／ ．
（ⅲ）由，（ｎ）＝擴，知隻需比較喜ｋ＝ｌｄ一（ｒ鬥與 。ｌ的大小．一０
在此匕較
與大／ｊ、．
設＝孚一）（０＜１），則ｙ２７『詈『詈
詈＋詈＋ｌ一１ｆ
：１．又 ＞０，可得 ≤ｌｘ－－一ｘ。
．由於０＜。＜１，可令
刪去≥由此得
喜 ≥孚
所以＞』．
ｋ＝ｌ評析：在（ⅱ）中先對條件進行化簡得到 ≥２ｎｓ＋１，然後考查
ｎ＝０，１，２時，只需口≥、／廠成立，再用放縮法證明
成立，從而得到ａ≥、／ｉ了．在（１ｌｉ）中先把問題轉化為只需比較
去與大小．構造函（）（０刪），用均值定理求得ｙ得
ｅ１．≤，ｘ一％再代換為擊≥ａ。一０－。ｑ
在（ｉｉ）和（ｉｌ１）的解題過程中，都是先把要證明的數列不等
式轉化歸結為比較簡單的不等式，然後結合二項式定理、均值定理等有關數學知識，利用放縮法進行證明．一
高中版中·？擻，？
導數證明數列不等式
已知函式 為常數 曲線在與軸的交點處的切線斜率為.求的值及函式的單調區間 證明 當時，證明 當時，由得.又，所以.所以，由得.所以函式在區間上單調遞減，在區間上單調遞增3 由 1 知.所以，即.令，則.所以在上單調遞增，所以當時，即.首先證明 當時，恒有.找到目標函式是第一步 證明如下 令，則.由 ...
不等式證明方法
1.比較法比較法是證明不等式的最基本 最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法 簡稱為求差法 和商值比較法 簡稱為求商法 1 差值比較法的理論依據是不等式的基本性質 a b 0a b a b 0a b 其一般步驟為 作差 考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看...
放縮法證明數列不等式
1 設數列的前項的和 求首項與通項 設，證明 解 易求 其中n為正整數 所以 2 求證 1 法1 數歸 兩邊都可以 法2 放縮裂項 法3 定積分放縮 2 法1 放縮一 放縮二 放縮三 法2 數歸 加強命題 常用的放縮公式 例3 已知 求證 法1 均值不等式 即證 也即 而 法2 放縮後裂項求和 法3...