不等式證明常用方法

17世紀之後，不等式的理論成為數學理論的重要組成部分。經過高斯、柯西、切貝曉夫等對不等式問題的研究，該理論得到非常快的發展，人們也一直在對不等式進行不斷的完善，取得許多重要成果。不等式不僅有重要的理論意義，在實踐方面運用於工程技術領域對它的生產有很大的作用。

證明不等式的方法不僅有豐富的邏輯推理、也很講究的不等變形和恒等技巧問題，為什麼不等式證明的問題輔導老師覺得難講、學生不會做呢？很大的原因是因為我們常見和常用的方法經常不知道怎麼用，因此，我想有必要對不等式的證明方法進行總結歸納。

一、比較法

比較法是分為做差比較和作商比較，它是不等式證明中常用到的方法的之一，是中學數學不等式證明中最基礎、最重要的方法。

求差法的理論依據是不等式的基本性質：.

其一般的步驟為：

作差：對要比較大小的兩個數作差；

變形：對差進行因式分解或配方成幾個數或式的完全平方和；

判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號.

若兩個正數作差比較困難，可以通過它們的平方差比較大小.求商法的理論依據是：

其一般的步驟為：

（1）作商：對要比較大小的兩個數作商（除數不能為0）；

（2）變形：對商式進行變形，轉換為其相應的等價不等式；

（3）判斷商的值：結合變形的結果及題設條件判斷商的值大於還是小於1。

總結：一般的，證明對數不等式、整式不等式常用作差法；證明冪、指數不等式常用作商法。在證明過程中最重要的是「變形」，他和一般的化簡有所不同。

「變形」的方法很多有：配方法、因式分解法、通分法等，總而言之就是到達能夠判斷差於0的大小；商於1的大小。

二、分析法

這就是假設不等式成立，然後利用不等式的基本條件，逐步推演，變形，最後得到乙個簡單明顯成立或已證明成立的不等式；而推證又可逆，我們就可以判定不等式成立，這種方法是我們證明不等式的基本方法之一。