1 常用方法
1.1比較法（作差法）[1]
在比較兩個實數和的大小時，可借助的符號來判斷.步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）.
變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等.
例1 已知：，，求證：.
證明 ，
故得1.2作商法
在證題時，一般在，均為正數時，借助或來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）.
例2 設，求證：.
證明因為所以而
故1.3分析法（逆推法）
從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆.
例3 求證：.
證明要證，即證，即，，，，.
由此逆推即得 .
1.4綜合法[2]
證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法.
例4 已知：，同號，求證：.
證明因為，同號，所以則
即1.5反證法[3]
先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，匯出結論的正確性，達到證題的目的.
例5 已知，是大於1的整數，求證：.
證明假設則即
故這與已知矛盾，所以.
1.6迭合法[4]
把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證.
例6 已知：，，求證:.
證明因為，，
所以由柯西不等式
所以原不等式獲證.
1.7放縮法[5]
在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）裡的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的.值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭.常用方法為：
改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法.
例7 求證：.
證明令則
所以1.8數學歸納法[6]
對於含有的不等式，當取第乙個值時不等式成立，如果使不等式在時成立的假設下，還能證明不等式在時也成立，那麼肯定這個不等式對取第乙個值以後的自然數都能成立.
例8 已知：，，，求證：.
證明 （1）當時，，不等式成立；
（2）若時，成立，則
=，即成立.
根據（1）、（2），對於大於1的自然數都成立.
1.9換元法
在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化.
例9 已知：，求證：.
證明設，，則，
所以1.10三角代換法
借助三角變換，在證題中可使某些問題變易.
例10 已知：，，求證：.
證明設，則；設，則
所以1.11判別式法[7]
通過構造一元二次方程，利用關於某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值範圍，來證明所要證明的不等式.
例11 設，且，求證：.
證明設，則
代入中得 ，
即因為，，所以，
即解得故.
1.12標準化法[8]
形如的函式，其中，且
為常數，則當的值之間越接近時，的值越大（或不變）；當時，取最大值，即
.標準化定理：當為常數時，有.
證明：記，則
, 求導得
由得即.
又由知的極大值點必在時取得.
由於當時，，故得不等式.
同理，可推廣到關於個變元的情形.
例12 設為三角形的三內角，求證：.
證明由標準化定理得，
當時取最大值，
故1.13等式法
應用一些等式的結論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明.
例13（2023年波蘭數學競賽題）、為的三邊長，求證：
.證明由海**式，其中.
兩邊平方，移項整理得
而,所以
1.14分解法
按照一定的法則，把乙個數或式分解為幾個數或式，使複雜問題轉化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達到證明不等式的目的.
例14 ，且，求證：.
證明因為 .所以
1.15構造法[9-10]
在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函式、恒等式、複數等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的.
例15 已知：，，求證：.
證明依題設，構造複數，，則，
所以故1.16排序法[11]
利用排序不等式來證明某些不等式.
排序不等式：設，，則有
其中是的乙個排列.當且僅當或時取等號.
簡記作：反序和亂序和同序和.
例16 求證：.
證明因為有序，所以根據排序不等式同序和最大，
即1.17借助幾何法[12]
借助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易.
例17 已知：，且，求證：.
證明 (如圖1.17.1)以為斜邊，為直角邊作.
延長ab至d，使，延長ac至e，使，過c作ad的平行線交de於f，則∽，令，
所以又，即，
所以圖1.17.1
2 利用函式證明不等式
2.1函式極值法
通過變換，把某些問題歸納為求函式的極值，達到證明不等式的目的.
例18 設，求證：.
證明當時當時
故2.2單調函式法[13-14]
當屬於某區間，有，則單調上公升；若，則單調下降.推廣之，若證，只須證及即可.
例 19 證明不等式
證明設則故當時，嚴格遞增；當嚴格遞減.又因為f在處連續，
則當時，
從而證得
2.3中值定理法
利用中值定理：是在區間上有定義的連續函式，且可導，則存在，，滿足來證明某些不等式，達到簡便的目的.
例20 求證：.
證明設，則
故2.4利用拉格朗日函式
例 21 證明不等式
其中為任意正實數.
證明設拉格朗日函式為對
對l求偏導數並令它們都等於0，則有，，
，由方程組的前三式，易的
把它代入第四式，求出從而函式l的穩定點為
為了判斷是否為所求條件極小值，我們可把條件看作隱函式（滿足隱函式定理條件），並把目標函式看作與的復合函式.這樣，就可應用極值充分條件來做出判斷.為此計算如下：
當時，由此可見，所求得的穩定點為極小值點，而且可以驗證是最小值點.這樣就有不等式
令則代入不等式有
或3 利用著名不等式證明
3.1利用均值不等式[15-16]
設是n個正實數，則，當且僅當時取等號.
例22 證明柯西不等式
證明要證柯西不等式成立，只要證
1）令2）
式中則（1）即
即3）下面證不等式(3),有均值不等式，，即同理
將以上各式相加，得
(4)根據（2），（4）式即
因此不等式（3）成立，於是柯西不等式得證.
3.2利用柯西不等式[17-18]
例23 設，，，…，．求證：．
證明由柯西不等式
．兩邊除以即得．
說明：兩邊乘以後開方得．當為正數時為均值不等式中的算術平均不大於平方平均．
3.3利用赫爾德不等式[19]
例24 設為正常數，，，求證：
證明 =
=即3.4利用詹森不等式[20]
例 25 證明不等式
其中均為正數.
證明設由的一階和二階導數
可見，在時為嚴格凸函式.依詹森不等式有從而即
又因所以
不等式的證明方法
不等式性質的應用 1 不等式性質成立的條件 運用不等式的基本性質解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現一些錯誤。對表達不等式性質的各不等式，要注意 箭頭 是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性。例1 若，則下列不等關係中不能成立的是 a b c d 解 由，a 成立。由，c...
不等式的證明方法
不等式性質的應用 1 不等式性質成立的條件 運用不等式的基本性質解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現一些錯誤。對表達不等式性質的各不等式，要注意 箭頭 是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性。例1 若，則下列不等關係中不能成立的是 a b c d 解 由，a 成立。由，c...
不等式的證明方法
a3 b3 c3 3abc,很明顯,當且僅當a b c時取等號.例1 已知a,b,c是不全等的正數,求證 a a2 b2 b a2 c2 c a2 b2 6abc.放縮法這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性 a b,b c,則a c,只要證明 大於或等於a的 b c就行了.例,證明當...