1．已知a、b、x、y均為正實數，且》，x>y.
求證： >.
證明：∵－＝，
又》，且a、b均為正實數，
∴b>a>0.
又x>y>0，
∴bx>ay.
∴>0，即》.
2．已知a，b，c均為正數，證明：a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥6，並確定a，b，c為何值時，等號成立．
證明：法一：因為a，b，c均為正數，由平均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)，②
所以(＋＋)2≥9(abc).
故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥3(abc)＋
9(abc).
又3(abc)＋9(abc)≥2＝6，③
所以原不等式成立．
當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立．當且僅當3(abc)＝9(abc)時，③式等號成立．
即當且僅當a＝b＝c＝3時，原式等號成立．
法二：因為a，b，c均為正數，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥ab＋bc＋ac＋
3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立．
當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．
即當且僅當a＝b＝c＝3時，原式等號成立．
3．已知x，y均為正數，且x＞y，求證：2x＋≥2y＋3.
解：因為x＞0，y＞0，x－y＞0，
2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3.
4．已知正實數a，b，c滿足＋＋＝1，求證：a＋＋≥9.
證明：因為a，b，c均為正實數，
所以＋＋≥3.同理可證：
a＋＋≥3.
所以(a＋＋)(＋＋)≥
3·3＝9.
因為＋＋＝1，所以a＋＋≥9，
當且僅當a＝3，b＝6，c＝9時，等號成立．
5．已知x、y、z∈r, 且2x＋3y＋3z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．
解：由柯西不等式得，
(2x＋3y＋3z)2≤(22＋32＋32)(x2＋y2＋z2)．
∵2x＋3y＋3z＝1，∴x2＋y2＋z2≥，
當且僅當＝＝，即x＝，y＝z＝時，等號成立，
∴x2＋y2＋z2的最小值為.
6．設f(x)＝2x2－2x＋2 010，若實數a滿足|x－a|<1 ，求證：|f(x)－f(a)|<4(|a|＋1)．
證明：∵f(x)＝2x2－2x＋2 010，
∴|f(x)－f(a)|＝2|x2－x－a2＋a|
＝2|x－a|·|x＋a－1|<2|x＋a－1|，
又∵2|x＋a－1|＝2|(x－a)＋2a－1|
≤2(|x－a|＋|2a－1|)
<2(1＋|2a|＋1)＝4(|a|＋1)．
7．求證：＋＋…＋＞(n≥2，n∈n*)．
證明：法一：利用數學歸納法：
(1)當n＝2時，左邊＝＋＋＋＞，不等式成立．
(2)假設當n＝k(k≥2，k∈n*)時不等式成立．
即＋＋…＋＞.
則當n＝k＋1時，
3×－)＝.
所以當n＝k＋1時不等式也成立，
由(1)，(2)知原不等式對一切n≥2，n∈n*均成立．
法二：利用放縮法：
∵n≥2即＋＋…＋＞(n≥2，n∈n*)．
8．已知a，b，c為實數，且a＋b＋c＋2－2m＝0，a2＋b2＋c2＋m－1＝0.
(1)求證：a2＋b2＋c2≥；
(2)求實數m的取值範圍．
解：(1)由柯西不等式得[a2＋(b)2＋(c)2]≥(a＋b＋c)2，
即(a2＋b2＋c2)×14≥(a＋b＋c)2.
∴a2＋b2＋c2≥.
當且僅當|a|＝|b|＝|c|取得等號．
(2)由已知得a＋b＋c＝2m－2，
a2＋b2＋c2＝1－m，
∴14(1－m)≥(2m－2)2.
即2m2＋3m－5≤0.∴－≤m≤1.
又∵a2＋b2＋c2＝1－m≥0，
∴m≤1，
∴－≤m≤1.
證明不等式的基本方法
1 已知a1 a2，b1 b2，則p a1b1 a2b2，q a1b2 a2b1的大小關係是 a p q b pc p q d p q 答案 c 解析 a1b1 a2b2 a1b2 a2b1 b1 b2 a1 a2 a1 a2，b1 b2，b1 b2 a1 a2 0.a1b1 a2b2 a1b2 a...
證明不等式的基本方法
一 比較法 1 作差比較法 例1 已知都是正數，且，求證 1 1 已知，求證 1 2 已知，求證 2 作商比較法 例2 已知都是正數，求證 當且僅當時，等號成立.2 1 已知都是正數，求證 二 綜合法與分析法 1 綜合法 例3 已知且不全相等，求證 3 1 已知，且求證 3 2 已知，用綜合法證明 ...
證明不等式的基本方法二
綜合法與分析法1 教學目的 1掌握綜合法 分析法證明不等式 2熟練掌握已學的重要不等式 3增強學生的邏輯推理能力 教學重點 綜合法 分析法 教學難點 不等式性質的綜合運用 一 複習引入 1 重要不等式 如果2 定理 如果a,b是正數，那麼 3公式的等價變形 ab ab 2 4 2 ab 0 當且僅當...