綜合法與分析法1
教學目的：
1掌握綜合法、分析法證明不等式；
2熟練掌握已學的重要不等式；
3增強學生的邏輯推理能力
教學重點：綜合法、分析法
教學難點：不等式性質的綜合運用
一、複習引入：
1．重要不等式：
如果2．定理：如果a,b是正數，那麼
3公式的等價變形：ab≤，ab≤（）2
4．≥2（ab＞0），當且僅當a＝b時取「＝」號；
5．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關係——結論
比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——判斷與1的關係——結論
二、講解新課：
（一）1．綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法
2．用綜合法證明不等式的邏輯關係是：
3．綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法
（二）1分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那麼就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法
2．用分析法證明不等式的邏輯關係是：
3．分析法的思維特點是：執果索因
4．分析法的書寫格式：
要證明命題b為真，
只需要證明命題為真，從而有……
這只需要證明命題為真，從而又有……
……這只需要證明命題a為真
而已知a為真，故命題b必為真
例1：已知是正數，且，求證：
轉化嘗試，就是不斷尋找並簡化欲證不等式成立的充分條件，到乙個明顯或易證其成立的充分條件為止. 其邏輯關係是：
證明：∵
∴要證,只要證,
只要證,只要證.
∵,∴即得證.
注：分析法的思維特點是：執果索因.
對於思路不明顯,感到無從下手的問題宜用分析法**證明途徑.另外,不等式的基本性質告訴我們可以對不等式做這樣或那樣的變形,分析時貴在變形,不通思變,變則通
聯想嘗試，就是由已知的不等式及題設條件出發產生聯想,大膽嘗試,巧用已知不等式及不等式性質做適當變形，推導出要求證明的不等式.其邏輯關係是：
法二：證明：∵
∴, ,
∴,∴法三
注：綜合法的思維特點是：執因索果.
基本不等式以及一些已經得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯絡,作由此及彼的聯想往往能啟發我們證明的方向.嘗試時貴在聯想，浮想聯翩，思潮如湧。
例2.（p23例1）已知是不全相等的正數,求證
證明：∵≥2bc,a＞0,
∴≥2abc
同理≥2abc
≥2abc
因為a，b，c不全相等，所以≥2bc,≥2ca,≥2ab三式不能全取「=」號，從而①、②、③三式也不能全取「=」號
∴法二：
法三：法四：
法五：例3（p23例2）.已知，且，求證
改變:同樣的條件,怎樣證明:
證明：即
，同理……
因為，由不等式的性質，得
因為時，取等號，所以原式在時取等號
變式：已知，且，求證
例4、（p24例3）求證
證（略）
四、課堂練習：
1． 設a, b, c r，
1求證：
2求證：
3若a + b = 1, 求證：
證：1∵ ∴
∴2同理：，
三式相加：
3由冪平均不等式：
∴2．已知a,b,c,d∈r,求證:ac+bd≤
分析一:用分析法
證法一:(1)當ac+bd≤0時,顯然成立
(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,
只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
即證2abcd≤b2c2+a2d2
即證0≤(bc-ad)2
因為a,b,c,d∈r,所以上式恆成立,
綜合(1)、(2)可知:原不等式成立
分析二:用綜合法
證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2
∴≥|ac+bd|≥ac+bd
故命題得證
五、課後作業
p25習題2。2
1、2、3、4
不等式證明的基本方法
1 已知a b x y均為正實數，且 x y.求證 證明 又 且a b均為正實數，b a 0.又x y 0，bx ay.0，即 2 已知a，b，c均為正數，證明 a2 b2 c2 2 6，並確定a，b，c為何值時，等號成立 證明 法一 因為a，b，c均為正數，由平均值不等式得 a2 b2 c2 3 ...
證明不等式的基本方法
1 已知a1 a2，b1 b2，則p a1b1 a2b2，q a1b2 a2b1的大小關係是 a p q b pc p q d p q 答案 c 解析 a1b1 a2b2 a1b2 a2b1 b1 b2 a1 a2 a1 a2，b1 b2，b1 b2 a1 a2 0.a1b1 a2b2 a1b2 a...
證明不等式的基本方法
一 比較法 1 作差比較法 例1 已知都是正數，且，求證 1 1 已知，求證 1 2 已知，求證 2 作商比較法 例2 已知都是正數，求證 當且僅當時，等號成立.2 1 已知都是正數，求證 二 綜合法與分析法 1 綜合法 例3 已知且不全相等，求證 3 1 已知，且求證 3 2 已知，用綜合法證明 ...