選修4－5 不等式選講第2課時不等式證明的基本方法(對應學生用書(理)200～202頁)
1. 設a、b∈r＋，試比較與的大小．
解：∵ ()2－＝≥0，∴≥.
2. 若a、b、c∈r＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．
解：(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值為.
3. 設a、b、m∈r＋，且<，求證：a＞b.
證明：由<，得－＝＜0.因為a、b、m∈r＋，所以b－a＜0，即b＜a.
4. 若a、b∈r＋，且a≠b，m＝＋，n＝＋，求m與n的大小關係．
解：∵ a≠b，∴＋>2，＋>2，
∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即m>n.
5. 用數學歸納法證明不等式＋＋…＋> (n>1，n∈n*)的過程中，用n＝k＋1時左邊的代數式減去n＝k時左邊的代數式的結果是a，求代數式a.
解：當n＝k時，左邊＝＋＋…＋，n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋，故左邊增加的式子是＋－，即a＝.
1. 不等式證明的常用方法
(1) 比較法：比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是一種常用方法，基本不等式就是用比較法證得的．比較法有差值、比值兩種形式，但比值法必須考慮正負．
比較法證明不等式的步驟：作差(商)、變形、判斷符號．其中的變形主要方法是分解因式、配方，判斷過程必須詳細敘述．
(2) 綜合法：綜合法就是從題設條件和已經證明過的基本不等式出發，不斷用必要條件替換前面的不等式，直到推出要證明的結論，即為「由因導果」，在使用綜合法證明不等式時，常常用到基本不等式．
(3) 分析法：分析法就是從所要證明的不等式出發，不斷地用充分條件替換前面的不等式，直至推出顯然成立的不等式，即為「執果索因」．
2. 不等式證明的其他方法和技巧
(1) 反證法
從否定結論出發，經過邏輯推理，匯出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定結論是正確的證明方法．
(2) 放縮法
欲證a≥b，可通過適當放大或縮小，借助乙個或多個中間量，使得a≥c1≥c2≥…≥cn≥b，利用傳遞性達到證明的目的．
(3) 數學歸納法
[備課札記]
題型1 用比較法證明不等式
例1求證：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
證明：∵ (a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1
＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)
＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]
＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0.
∴ a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
已知a>0，b>0，求證：＋≥＋.
證明：(證法10，∴ 原不等式成立．
(證法2)由於＝＝＝－1≥－1＝1.
又a>0，b>0， >0，∴＋≥＋.
題型2 用分析法、綜合法證明不等式
例2 已知x、y、z均為正數，求證：＋＋≥＋＋.
證明：(證法1：綜合法)因為x、y、z都是正數，所以＋＝≥.同理可得＋≥，＋≥.將上述三個不等式兩邊分別相加，並除以2，得＋＋≥＋＋.
(證法2：分析法)因為x、y、z均為正數，要證＋＋≥＋＋.只要證≥，只要證x2＋y2＋z2≥yz＋zx＋xy，只要證(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2≥0，而(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2≥0顯然成立，所以原不等式成立．
已知a>0，求證：－≥a＋－2.
證明：要證－≥a＋－2，
只需證＋2≥a＋＋，
只需證a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，
即證2≥，
只需證4≥2，
即證a2＋≥2，此式顯然成立．
∴ 原不等式成立．
題型3 均值不等式與柯西不等式的應用
例3 求證：≥.
證明：∵ (12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
∴≥，即≥.
若實數x、y、z滿足x＋2y＋3z＝a(a為常數)，求x2＋y2＋z2的最小值．
解：∵ (12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，即14(x2＋y2＋z2)≥a2，
∴ x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值為.
用數學歸納法證明：當n是不小於5的自然數時，總有2n>n2成立．
證明：(1) 當n＝5時，25>52，結論成立．
(2) 假設當n＝k(k∈n ，k≥5)時，結論成立，即有2k>k2，
那麼當n＝k＋1時，左邊＝2k＋1＝2·2k>2·k2＝(k＋1)2＋(k2－2k－1)＝(k＋1)2＋(k－1－)(k－1＋)>(k＋1)2＝右邊.
∴ 也就是說，當n＝k＋1時，結論成立．
∴ 由(1)、(2)可知，不等式 2n>n2對n∈n ，n≥5時恆成立．
例4 求函式y＝＋的最大值．
解：∵y2＝(＋·)2≤[12＋()2](1－x＋2＋x)＝3×3，∴ y≤3，當且僅當＝時取「＝」號，即當x＝0時，ymax＝3.
(2011·湖南改編)設x、y∈r，求的最小值．
解：由柯西不等式，得≥(1＋2)2＝9.∴的最小值為9.
1. (2013·陝西)已知a、b、m、n均為正數，且a＋b＝1，mn＝2，求(am＋bn)(bm＋an)的最小值．
解：利用柯西不等式求解，(am＋bn)(an＋bm)≥(＋)2＝mn·(a＋b)2＝2·1＝2，且僅當＝ m＝n時取最小值2.
2. (2013·湖北)設x、y、z∈r，且滿足x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z的值．
解：由柯西不等式可知(x＋2y＋3z)2＝14≤(x2＋y2＋z2)·(12＋22＋32)，
因為x2＋y2＋z2＝1，所以當且僅當＝＝時取等號．
此時y＝2x，z＝3x代入x＋2y＋3z＝得x＝，即y＝，z＝，
所以x＋y＋z＝.
3. (2013·江蘇)已知a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.
證明：∵ 2a3－b3－2ab2＋a2b＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)
＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)，
又a≥b>0，∴ a＋b>0，a－b≥0，2a＋b≥0，
∴ (a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，
∴ 2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
∴ 2a3－b3≥2ab2－a2b.
4. (2013·新課標ⅱ)設a、b、c均為正數，且a＋b＋c＝1.證明：
(1) ab＋bc＋ca≤；
(2)＋＋≥1.
證明：(1) 由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由題設得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2) 因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
1. 已知正數a、b、c滿足abc＝1，求證：(a＋2)(b＋2)(c＋2)≥27.
證明：(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)
≥3··3··3·＝27·＝27(當且僅當a＝b＝c＝1時等號成立)．
2. 已知函式f(x)＝m－|x－2|，m∈r，且f(x＋2)≥0的解集為[－1，1]．
(1) 求m的值；
(2) 若a，b，c∈r，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9.
解：(1) ∵ f(x＋2)＝m－|x|≥0，
∴ |x|≤m，∴ m≥0，－m≤x≤m，
∴ f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.
(2) 由(1)知＋＋＝1，a、b、c∈r，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(·＋·＋·)2＝9.
3. 已知x，y，z∈r＋，且x＋y＋z＝1
(1) 若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．
(2) 若2x2＋3y2＋tz2≥1恆成立，求正數t的取值範圍．
解：(1) ∵ (2x2＋3y2＋6z2)(＋＋)≥(x＋y＋z)2＝1，當且僅當＝＝時取「＝」．∴ 2x＝3y＝6z，
又∵ x＋y＋z＝1，∴ x＝，y＝，z＝.
(2) ∵ (2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴ (2x2＋3y2＋tz2)min＝.
∵ 2x2＋3y2＋tz2≥1恆成立，
∴≥1.∴ t≥6.
4. (1) 求函式y＝＋的最大值；
(2) 若函式y＝a＋最大值為2，求正數a的值．
解：(1) ∵ (＋)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8, ∴＋≤2. 當且僅當1·＝1·即x＝3時，ymax＝2.
(2) (a＋)2＝2≤(a2＋4)(x＋1＋－x)＝(a2＋4)，
由已知(a2＋4)＝20得a＝±2，
又∵ a>0，∴ a＝2.
1. 算術—幾何平均不等式
若a1，a2，…，an∈r＋，n>1且n∈n*，則叫做這n個正數的算術平均數，叫做這n個正數的幾何平均數．
基本不等式：≥(n∈n*，ai∈r＋，1≤i≤n)．
2. 絕對值三角形不等式
若a、b是實數，則||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
推論1：|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
推論2：如果a、b、c是實數，那麼|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．
3. 柯西不等式
若a、b、c、d為實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
4. 三角不等式
設x1、y1、x2、y2∈r，則＋≥.
[備課札記]
選修4 5不等式選講第二節證明不等式的基本方法
1 比較法 1 作差比較法 理論依據 a ba b 0 a ba b 0.證明步驟 作差 變形 判斷符號 得出結論 2 作商比較法 理論依據 b 0，1a b b 0，1a b.證明步驟 作商 變形 判斷與1的大小關係 得出結論 2 綜合法 1 定義 從已知條件出發，利用定義 公理 定理 性質等，經...
選修4 5不等式證明學案 作業
選修4 5學案 2.1.1不等式的的證明 1 比較法 學習目標 1.理解並掌握證明不等式的基本方法 比較法 2.了解琴生不等式的及其背景 知識情景 1 絕對值三角不等式 定理1 如果,那麼.當且僅當時,等號成立.定理2 如果,那麼.當且僅當時,等號成立.2.含絕對值不等式的解法 設為正數,則 設,則...
選修4 5學案2 1 3不等式的證明 3
選修4 5學案 2.1.3不等式的的證明 3 姓名 學習目標 1.理解並掌握反證法 換元法與放縮法 2.會利用反證法 換元法與放縮法證明不等式 知識情景 1.不等式證明的基本方法 10.比差法與比商法 兩正數時 20.綜合法和分析法 30.反證法 換元法 放縮法 2.綜合法 從 已知條件 不等式的性...